分数階微積分学
分数階微分積分学（ぶんすうかいびぶんせきぶんがく、英: fractional calculus）は解析学（特に微分積分学）の一分野で、微分作用素 D および積分作用素 J [1]が実数冪あるいは複素数冪をとる可能性について研究する学問である。
この文脈における「冪」の語は作用素の合成を繰り返し行うという意味で用いており、それに従えばたとえば f2(x) = f(f(x)) ということになる。さてたとえば、微分作用素 D の平方根（あるいは微分を半分だけ作用させる）という意味での式
函数 f(x) = x（青）とその半導函数（紫）、一階導函数（赤）。函数f(x)と一階導函数の中間の性質がある。 ここで函数 f(x) として
この節には内容がありません。 (2025年1月)脚注
- ^ ここで積分作用素の J は integration の頭文字 I を用いるところ、I は恒等写像など他の意味に使われたり、I に似た字形の記号・文字がいろいろと使われたりすることによる混同を避けるためにしばしば使われる。
- ^ Liouville, Joseph (1832), “Mémoire sur quelques questions de géométrie et de mécanique, et sur un nouveau genre de calcul pour résoudre ces questions”, Journal de l'École Polytechnique (Paris) 13: 1-69.
- ^ Liouville, Joseph (1832), “Mémoire sur le calcul des différentielles à indices quelconques”, Journal de l'École Polytechnique (Paris) 13: 71-162.
- ^ この主題の歴史については、以下の修士論文（フランス語）Stéphane Dugowson, Les différentielles métaphysiques (histoire et philosophie de la généralisation de l'ordre de dérivation), Thèse, Université Paris Nord (1994) を参照。
- ^ Hadamard, J. (1892), “Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor”, Journal of pure and applied mathematics 4 (8): 101–186
参考文献
- Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, by Samko, S.; Kilbas, A.A.; and Marichev, O. Hardcover: 1006 pages. Publisher: Taylor & Francis Books. ISBN 2-88124-864-0
- Theory and Applications of Fractional Differential Equations, by Kilbas, A. A.; Srivastava, H. M.; and Trujillo, J. J. Amsterdam, Netherlands, Elsevier, February 2006. ISBN 0-444-51832-0 (http://www.elsevier.com/wps/find/bookdescription.cws_home/707212/description#description)
- An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, by Kenneth S. Miller, Bertram Ross (Editor). Hardcover: 384 pages. Publisher: John Wiley & Sons; 1 edition (May 19, 1993). ISBN 0-471-58884-9
- The Fractional Calculus; Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order (Mathematics in Science and Engineering, V), by Keith B. Oldham, Jerome Spanier. Hardcover. Publisher: Academic Press; (November 1974). ISBN 0-12-525550-0
- Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications., (Mathematics in Science and Engineering, vol. 198), by Igor Podlubny. Hardcover. Publisher: Academic Press; (October 1998) ISBN 0-12-558840-2
- Fractional Calculus - An Introduction for Physicists by R. Herrmann, World Scientific, Singapore 2014. 500 pages.
- Fractals and quantum mechanics, by N. Laskin. Chaos Vol.10, pp.780-790 (2000). (http://link.aip.org/link/?CHAOEH/10/780/1)
- Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, by A. Carpinteri (Editor), F. Mainardi (Editor). Paperback: 348 pages. Publisher: Springer-Verlag Telos; (January 1998). ISBN 3-211-82913-X
- Physics of Fractal Operators, by Bruce J. West, Mauro Bologna, Paolo Grigolini. Hardcover: 368 pages. Publisher: Springer Verlag; (January 14, 2003). ISBN 0-387-95554-2
- Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. by F. Mainardi, Imperial College Press, 2010. 368 pages.
- Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. by V.E. Tarasov, Springer, 2010. 450 pages.
- Fractional Derivatives for Physicists and Engineers by V.V. Uchaikin, Springer, Higher Education Press, 2012, 385 pages.
- Fractional Calculus and the Taylor-Riemann Series, Rose-Hulman Undergrad. J. Math. Vol.6(1) (2005).
- Operator of fractional derivative in the complex plane, by Petr Zavada, Commun.Math.Phys.192, pp. 261-285,1998. doi:10.1007/s002200050299 (available online or as the arXiv preprint)
- Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators, by Petr Zavada, Journal of Applied Mathematics, vol. 2, no. 4, pp. 163-197, 2002. doi:10.1155/S1110757X02110102 (available online or as the arXiv preprint)
- Fractional differentiation by neocortical pyramidal neurons, by Brian N Lundstrom, Matthew H Higgs, William J Spain & Adrienne L Fairhall, Nature Neuroscience, vol. 11 (11), pp. 1335 - 1342, 2008. doi:10.1038/nn.2212 (abstract)
- Equilibrium points, stability and numerical solutions of fractional-order predator-prey and rabies models, by Ahmed E., A.M.A. El-Sayed, H.A.A. El-Saka. 2007. Jour. Math. Anal. Appl. 325,452.
関連項目
外部リンク
- 整数階でない微積分法について
- 非整数階の微積分 - ウェイバックマシン（2018年3月29日アーカイブ分）
- Weisstein, Eric W. "Fractional Calculus". mathworld.wolfram.com (英語).
- Weisstein, Eric W. "Fractional Derivative". mathworld.wolfram.com (英語).
- Weisstein, Eric W. "Fractional Differential Equation". mathworld.wolfram.com (英語).
- Fractional Calculus at MathPages
- Specialized journal: Fractional Calculus and Applied Analysis
- Initialized Fractional Calculus
- FRACTIONAL CALCULUS PROJECT
- Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc.
- Les Différentielles métaphysiques――Histoire et philosophie de la généralisation de l'ordre de dérivation
- History, Definitions, and Applications for the Engineer (PDF) , by Adam Loverro, University of Notre Dame
- Fractional Calculus Modelling
- Introductory Notes on Fractional Calculus
- Pseudodifferential operators and diffusive representation in modeling, control and signal
分数階微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/08 16:07 UTC 版)
p が 2 でない場合は同様に扱うことができる。この場合はパーセバルの定理は最早成り立たないが、微分はまだフーリエ領域での乗法に対応していて、微分は分数階微分に一般化することができる。ゆえに作用素の階数 s の分数階微分を、フーリエ変換をとり (in)s を掛けてフーリエ逆変換をおこなった F s ( f ) := ∑ n = − ∞ ∞ ( i n ) s f ^ ( n ) e i n t {\displaystyle F^{s}(f):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(in)^{s}{\hat {f}}(n)e^{int}} によって定義することができる（フーリエ変換・掛け算作用・フーリエ逆変換と行うことによって得られる作用素はフーリエ乗数(Fourier multiplier)と呼ばれ、それ自身が研究の種である）。これにより、(s,p)-ソボレフノルムが ‖ f ‖ s , p := ‖ f ‖ p + ‖ F s ( f ) ‖ p {\displaystyle \|f\|_{s,p}:=\|f\|_{p}+\|F^{s}(f)\|_{p}} によって定義され、通常の場合と同様にソボレフ空間がソボレフノルム有限な函数全体の成す空間として定義される。
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