分数関数の微分
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首記の件について解説する。必要に応じ、例えば北川p27,P39付近を参照のこと。
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分数関数の微分(1)
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「遅延ポテンシャル」の記事における「分数関数の微分(1)」の解説
分数関数の偏微分と勾配ベクトル場について解説する。 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 上の点 R = ( x , y , z ) {\displaystyle {\mathfrak {R}}=(x,y,z)} r = ( x r , y r , z r ) {\displaystyle {\boldsymbol {r}}=({x}_{\boldsymbol {r}},{y}_{\boldsymbol {r}},{z}_{\boldsymbol {r}})} , s = ( x s , y s , z s ) {\displaystyle {\boldsymbol {s}}=({x}_{\boldsymbol {s}},{y}_{\boldsymbol {s}},{z}_{\boldsymbol {s}})} を考える。 | R | ≠ 0 {\displaystyle |{\mathfrak {R}}|\neq 0} において、 ∂ ∂ x [ 1 | R | ] = ∂ ∂ x [ ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 1 / 2 ] = − 1 2 ( 2 x ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 3 / 2 = − x | R | 3 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]={\frac {\partial }{\partial {x}}}\left[{({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})}^{-1/2}\right]={\frac {-1}{2}}(2{x}){({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})}^{-3/2}={\frac {-x}{{|{\mathfrak {R}}|}^{3}}}} (S4-1-1a) が成り立つ。同様に、 ∂ ∂ y [ 1 | R | ] = − y | R | 3 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]={\frac {-y}{{|{\mathfrak {R}}|}^{3}}}} (S4-1-1b) ∂ ∂ z [ 1 | R | ] = − z | R | 3 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}\left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]={\frac {-z}{{|{\mathfrak {R}}|}^{3}}}} (S4-1-1c) grad [ 1 | R | ] = − R | R | 3 {\displaystyle \operatorname {grad} \left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]={\frac {-{\mathfrak {R}}}{{|{\mathfrak {R}}|}^{3}}}} (S4-1-1d) である。従って、式(S4-1-1)それぞれに、 R = r − s {\displaystyle {\mathfrak {R}}={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}} を代入すると | r − s | ≠ 0 {\displaystyle |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|\neq 0} において、 ∂ ∂ x r [ 1 | r − s | ] = − ( x r − x s ) | r − s | 3 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {x}_{\boldsymbol {r}}}}\left[{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\right]={\frac {-({x}_{\boldsymbol {r}}-{x}_{\boldsymbol {s}})}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}^{3}}}} (S4-1-2a) ∂ ∂ y r [ 1 | r − s | ] = − ( y r − y s ) | r − s | 3 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {y}_{\boldsymbol {r}}}}\left[{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\right]={\frac {-({y}_{\boldsymbol {r}}-{y}_{\boldsymbol {s}})}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}^{3}}}} (S4-1-2b) ∂ ∂ z r [ 1 | r − s | ] = − ( z r − z s ) | r − s | 3 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {z}_{\boldsymbol {r}}}}\left[{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\right]={\frac {-({z}_{\boldsymbol {r}}-{z}_{\boldsymbol {s}})}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}^{3}}}} (S4-1-2c) grad r [ 1 | r − s | ] = − ( r − s ) | r − s | 3 {\displaystyle \operatorname {grad} _{\boldsymbol {r}}\left[{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\right]={\frac {-({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}})}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}^{3}}}} (S4-1-2d) が得られる。同様に、式(S4-1-1)それぞれに、 R = s − r {\displaystyle {\mathfrak {R}}={\boldsymbol {s}}-{\boldsymbol {r}}} を代入すると | r − s | ≠ 0 {\displaystyle |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|\neq 0} において、 ∂ ∂ x s [ 1 | r − s | ] = ( x r − x s ) | r − s | 3 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {x}_{\boldsymbol {s}}}}\left[{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\right]={\frac {({x}_{\boldsymbol {r}}-{x}_{\boldsymbol {s}})}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}^{3}}}} (S4-1-3a) ∂ ∂ y s [ 1 | r − s | ] = ( y r − y s ) | r − s | 3 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {y}_{\boldsymbol {s}}}}\left[{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\right]={\frac {({y}_{\boldsymbol {r}}-{y}_{\boldsymbol {s}})}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}^{3}}}} (S4-1-3b) ∂ ∂ z s [ 1 | r − s | ] = ( z r − z s ) | r − s | 3 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {z}_{\boldsymbol {s}}}}\left[{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\right]={\frac {({z}_{\boldsymbol {r}}-{z}_{\boldsymbol {s}})}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}^{3}}}} (S4-1-3c) grad s [ 1 | r − s | ] = ( r − s ) | r − s | 3 {\displaystyle \operatorname {grad} _{\boldsymbol {s}}\left[{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\right]={\frac {({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}})}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}^{3}}}} (S4-1-3d) も判る（(S4-1-2) と符号が逆転していることに注意）。
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分数関数の微分(2)
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「遅延ポテンシャル」の記事における「分数関数の微分(2)」の解説
R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 上の点 R = ( x , y , z ) {\displaystyle {\mathfrak {R}}=(x,y,z)} r = ( x r , y r , z r ) {\displaystyle {\boldsymbol {r}}=({x}_{\boldsymbol {r}},{y}_{\boldsymbol {r}},{z}_{\boldsymbol {r}})} , s = ( x s , y s , z s ) {\displaystyle {\boldsymbol {s}}=({x}_{\boldsymbol {s}},{y}_{\boldsymbol {s}},{z}_{\boldsymbol {s}})} を考える。 | R | ≠ 0 {\displaystyle |{\mathfrak {R}}|\neq 0} において、 ∂ ∂ x r [ 1 | R | 2 ] = ∂ ∂ x [ ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 1 ] {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {x}_{\boldsymbol {r}}}}\left[{\frac {1}{{|{\mathfrak {R}}|}^{2}}}\right]={\frac {\partial }{\partial {x}}}\left[{({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})^{-1}}\right]} = ( − 2 x ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 = − 2 ( x ) | R 2 | 4 {\displaystyle =(-2{x}){({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})}^{-2}={\frac {-2({x})}{{|{\mathfrak {R}}^{2}|}^{4}}}} (S4-2-1a) が成り立つ。同様に、 ∂ ∂ y [ 1 | R | 2 ] = − 2 y | R | 4 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|^{2}}}\right]={\frac {-2y}{{|{\mathfrak {R}}|}^{4}}}} (S4-2-1b) ∂ ∂ z [ 1 | R 2 | ] = − 2 z | R | 4 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}\left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}^{2}|}}\right]={\frac {-2z}{{|{\mathfrak {R}}|}^{4}}}} (S4-2-1c) grad [ 1 | R | ] = − 2 R | R | 4 {\displaystyle \operatorname {grad} \left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]={\frac {-2{\mathfrak {R}}}{{|{\mathfrak {R}}|}^{4}}}} (S4-2-1d) である。従って、式(S4-1-1)それぞれに、 R = r − s {\displaystyle {\mathfrak {R}}={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}} を代入すると | r − s | ≠ 0 {\displaystyle |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|\neq 0} において、 grad r [ 1 | r − s | ] = − 2 ( r − s ) | r − s | 4 {\displaystyle \operatorname {grad} _{\boldsymbol {r}}\left[{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\right]={\frac {-2({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}})}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}^{4}}}} (S4-2-2) が得られる。同様に、式(S4-1-1)それぞれに、 R = s − r {\displaystyle {\mathfrak {R}}={\boldsymbol {s}}-{\boldsymbol {r}}} を代入すると | r − s | ≠ 0 {\displaystyle |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|\neq 0} において、 grad s [ 1 | r − s | ] = 2 ( r − s ) | r − s | 4 {\displaystyle \operatorname {grad} _{\boldsymbol {s}}\left[{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\right]={\frac {2({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}})}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}^{4}}}} (S4-2-3) も判る（(S4-2-2) と符号が逆転していることに注意）。
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分数関数の微分(3)
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「遅延ポテンシャル」の記事における「分数関数の微分(3)」の解説
本節では、特に本編の式(2-4-18) 即ち、以下の式(S4-3-1)を得るために必要な式変形を解説する。ここでは、 | R | ≠ 0 {\displaystyle |{\mathfrak {R}}|\neq 0} での挙動についてのみ扱う。 | R | = 0 {\displaystyle |{\mathfrak {R}}|=0} での挙動を含めた議論は、後述の式(S5-2-5)にて扱う。 Δ [ − 1 4 π | R | ] = δ ( | R | ) {\displaystyle \Delta \left[{\frac {-1}{4\pi |{\mathfrak {R}}|}}\right]=\delta (|{\mathfrak {R}}|)} (S4-3-1) R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 上の点 R = ( x , y , z ) {\displaystyle {\mathfrak {R}}=(x,y,z)} を考える。 式(S2-4-2)(以下の式(S4-3-2)）及び、式(S4-1-1d) (以下の式(S4-3-3)）を考え合わせると、 Δ = ∇ ⋅ ∇ = div grad {\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla ={\text{div}}\,{\text{grad}}} (S4-3-2) grad [ 1 | R | ] = − R | R | 3 {\displaystyle \operatorname {grad} \left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]={\frac {-{\mathfrak {R}}}{{|{\mathfrak {R}}|}^{3}}}} (S4-3-3) Δ [ − 1 | R | ] = div [ − R | R | 3 ] = ∂ ∂ x [ x | R | ] + ∂ ∂ y [ y | R | ] + ∂ ∂ z [ z | R | ] {\displaystyle \Delta \left[{\frac {-1}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]=\operatorname {div} \left[{\frac {-{\mathfrak {R}}}{{|{\mathfrak {R}}|}^{3}}}\right]={\frac {\partial }{\partial {x}}}\left[{\frac {x}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]+{\frac {\partial }{\partial {y}}}\left[{\frac {y}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]+{\frac {\partial }{\partial {z}}}\left[{\frac {z}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]} (S4-3-4) が判る。式(S4-3-4)の右辺をさらに計算することを考える。 | R | ≠ 0 {\displaystyle |{\mathfrak {R}}|\neq 0} において、積の微分及び、後述の式(S4-3-6)を考えると、 ∂ ∂ x [ x | R | 3 ] = 1 | R | 3 + x ∂ ∂ x [ 1 | R | 3 ] {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {x}}}\left[{\frac {x}{|{\mathfrak {R}}|^{3}}}\right]={\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|^{3}}}+x{\frac {\partial }{\partial {x}}}\left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|^{3}}}\right]} = 1 | R | 3 − 3 x 2 | R | 5 {\displaystyle ={\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|^{3}}}-{\frac {3{x}^{2}}{|{\mathfrak {R}}|^{5}}}} (S4-3-5a) 何となれば、 ∂ ∂ x [ 1 | R | 3 ] = ∂ ∂ x [ ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 3 / 2 ] = 2 x ∗ ( − 3 / 2 ) ∗ ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 5 / 2 = − 3 x | R | 5 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {x}}}\left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|^{3}}}\right]={\frac {\partial }{\partial {x}}}\left[({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})^{-3/2}\right]=2x*(-3/2)*({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})^{-5/2}={\frac {-3x}{|{\mathfrak {R}}|^{5}}}} (S4-3-6) 同様に、 ∂ ∂ y [ y | R | 3 ] = 1 | R | 3 − 3 y 2 | R | 5 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {y}}}\left[{\frac {y}{|{\mathfrak {R}}|^{3}}}\right]={\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|^{3}}}-{\frac {3{y}^{2}}{|{\mathfrak {R}}|^{5}}}} (S4-3-5b) ∂ ∂ z [ z | R | 3 ] = 1 | R | 3 − 3 z 2 | R | 5 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {z}}}\left[{\frac {z}{|{\mathfrak {R}}|^{3}}}\right]={\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|^{3}}}-{\frac {3{z}^{2}}{{|{\mathfrak {R}}|}^{5}}}} (S4-3-5c) 式(S4-3-5a),(S4-3-5b),(S4-3-5c)を足し合わせると、 | R | ≠ 0 {\displaystyle |{\mathfrak {R}}|\neq 0} において、 div r [ r | r | 3 ] = 3 | R | 3 − 3 | r | 2 | R | 5 = 0 {\displaystyle \operatorname {div} _{\boldsymbol {r}}\left[{\frac {\boldsymbol {r}}{{|{\boldsymbol {r}}|}^{3}}}\right]={\frac {3}{|{\mathfrak {R}}|^{3}}}-{\frac {3{|{\boldsymbol {r}}|}^{2}}{{|{\mathfrak {R}}|}^{5}}}=0} (S4-3-6) が得られた。
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