分数次核関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/25 07:06 UTC 版)
FrFTは次のように積分変換として表わせる。 F α f ( u ) = ∫ K α ( u , x ) f ( x ) d x {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }f(u)=\int K_{\alpha }(u,x)f(x)\,\mathrm {d} x} ここで、α-角核関数はつぎのようになる。 K α ( u , x ) = { 1 − i cot ( α ) exp ( i π ( cot ( α ) ( x 2 + u 2 ) − 2 csc ( α ) u x ) ) if α is not a multiple of π , δ ( u − x ) if α is a multiple of 2 π , δ ( u + x ) if α + π is a multiple of 2 π , {\displaystyle K_{\alpha }(u,x)={\begin{cases}{\sqrt {1-i\cot(\alpha )}}\exp \left(i\pi (\cot(\alpha )(x^{2}+u^{2})-2\csc(\alpha )ux)\right)&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ is not a multiple of }}\pi ,\\\delta (u-x)&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ is a multiple of }}2\pi ,\\\delta (u+x)&{\mbox{if }}\alpha +\pi {\mbox{ is a multiple of }}2\pi ,\\\end{cases}}} （二乗根は偏角が区間 [ − π / 2 , π / 2 ] {\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]} に収まるように定義するものとする） ここでも、特殊な場合は α が π の整数倍に近付いたときの挙動と矛盾なく定義されている。 FrFTは、核関数と同じ次のような性質を持つ。 対称性: K α ( u , u ′ ) = K α ( u ′ , u ) {\displaystyle K_{\alpha }(u,u')=K_{\alpha }(u',u)} 逆関数: K α − 1 ( u , u ′ ) = K α ∗ ( u , u ′ ) = K − α ( u ′ , u ) {\displaystyle K_{\alpha }^{-1}(u,u')=K_{\alpha }^{*}(u,u')=K_{-\alpha }(u',u)} 加法性: K α + β ( u , u ′ ) = ∫ K α ( u , u ″ ) K β ( u ″ , u ′ ) d u ″ . {\displaystyle K_{\alpha +\beta }(u,u')=\int K_{\alpha }(u,u'')K_{\beta }(u'',u')\,\mathrm {d} u''.}
※この「分数次核関数」の解説は、「分数次フーリエ変換」の解説の一部です。
「分数次核関数」を含む「分数次フーリエ変換」の記事については、「分数次フーリエ変換」の概要を参照ください。
- 分数次核関数のページへのリンク
