動機と歴史
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「カジュダン–ルスティック多項式」の記事における「動機と歴史」の解説
1978年春、カジュダンとルスティックは、代数群 G の冪単共役類の研究と関連して、G に付随するワイル群 W の表現を ℓ 進コホモロジー（英語版）群上に実現するシュプリンガー表現（英語版）を研究していた。彼らはこの表現の複素数体上での新しい実現を与えた。この表現には2つの自然な基底が存在し、その変換行列が本質的にはカジュダン・ルスティック多項式で与えられることになるが、彼らが実際にカジュダン・ルスティック多項式を構成した方法はもっと初等的な方法であった。それはコクセター群に付随するヘッケ環とその表現に対するある標準的な基底を構成することであった。 カジュダン・ルスティックは最初の論文で、これらの多項式はシューベルト多様体（英語版）における局所ポアンカレ双対性の破れと関係していることを指摘し、1980年の論文でこの観点をマーク・ゴレスキーとロバート・マクファーソンによる交叉コホモロジー（英語版）の概念を用いて説明した。さらに交叉コホモロジー群の次元を用いてこれらの基底の別の定義を与えた。 半単純リー環のある無限次元表現の圏に対するグロタンディーク群には、ヴァーマ加群（英語版）と既約加群から得られる2つの基底が存在する。カジュダン・ルスティックの得たシュプリンガー表現の2つの基底は、この類似であるように思われた。この類似性と、ワイル群の表現とリー環の展開環の原始イデアルとを結びつけるヤンツェンとヨゼフの仕事をもとに、彼らはカジュダン・ルスティック予想を定式化し、半単純リー環の表現論とカジュダン・ルスティック多項式を結びつけた。
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動機と歴史
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/21 09:18 UTC 版)
滑らかな多様体は、局所的にユークリッド空間 Rn の滑らかな変形に見える数学的な対象である。たとえば、滑らかな曲線や曲面は、局所的には直線や平面の滑らかな変形に見える。滑らかな函数とベクトル場は、まさにユークリッド空間上であるかのように多様体を定義することができ、多様体上のスカラー函数は、自然な方法で微分することが可能である。ベクトル場の微分は、ユークリッド空間においては簡単な問題である。なぜなら、点 p における接ベクトル空間が普通に（平行移動によって）近くの点 q での接ベクトル空間と同一視できるからである。しかしながら、一般の多様体上でのベクトル場の微分はそう単純にはいかない。一般に、多様体上では近くの接空間の間にそのような自然な同一視は存在しないので、近接する点での接空間を well-defined な方法で比較することはできない。アフィン接続の考えは、近くの接空間を「接続する」ことにより、この問題を修正することで導入された。このアイデアの起源は、2つの源へと遡ることができる、曲面論（英語版）とテンソル解析である。
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