動機となる属性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/06 10:17 UTC 版)
算術平均には、代表値として用いるのに適した次のような属性がある。 a 1 , ⋯ , a n {\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}} の算術平均を m {\displaystyle m} とすると、偏差の総和（合計）は必ず 0 になる： ( a 1 − m ) + ⋯ + ( a n − m ) = ∑ k = 1 n a k − n m = 0 {\displaystyle (a_{1}-m)+\cdots +(a_{n}-m)=\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}-nm=0} この等式は、力学的には次のような意味になる：データの値 ak を横軸、度数を縦軸とするヒストグラムを作成すると、ヒストグラムの形をした物体の重心は平均値 m が表す点の上にある。 数 x {\displaystyle x} に対して、データの値との差の平方の総和 ∑ k = 1 n ( a k − x ) 2 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}(a_{k}-x)^{2}} をとる関数を考えるとき、この関数はデータの算術平均値 x = 1 n ∑ k = 1 n a k {\displaystyle x={\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}} （のみ）で最小となる。 正規分布などの左右対称な確率分布においては、平均値は中央値と等しくなる。
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