動機および認識論的状況とは? わかりやすく解説

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動機および認識論的状況

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/06/01 07:39 UTC 版)

巨大基数」の記事における「動機および認識論的状況」の解説

巨大基数フォン・ノイマン宇宙 V の文脈理解される。これは冪集合を取る操作を超限回反復して得られるもので、与えられ集合全ての部分集合集めたのである典型的には、巨大基数公理成り立たないようなモデルは、巨大基数公理成り立つような何らかのモデルの自然な部分モデルになっている例えば、もし到達不能基数存在するなら、そのような基数現れる最初の高さで「宇宙切り離して」しまうと、到達不能基数存在しないような宇宙得られるまた、もし可測基数存在するなら、冪集合操作を「定義可能な程度反復するよう抑えると、ゲーデル構成可能宇宙 L が得られ、そこでは「可測基数存在する」という主張成立しなくなる(例え可測基数順序数として存在してもである)。 以上のことから、多く集合論学者中でもカバル学派英語版)の伝統影響され人々)の一致した見解によれば巨大基数公理は、我々が「考えてしかるべき集合全て考えていると「言って」いるのであり、それらを否認することは「制限的であって研究対象とすべき集合みすみす絞る行為なのだという。更に、巨大基数公理から得られる結果はいくつかの自然なパターン落ち着くように見える(Maddy, "Believing the Axioms, II" を参照のこと)。こうした理由から、そのような集合論学者たちは ZFC対す数多ある拡張中でも巨大基数公理には特別な味がある考えている。これは、動機明確さに劣る他の公理例えマーティンの公理)や、直観的に不自然だ考えられている公理例え構成可能性公理英語版)(V = L))などには当てはまらないことである。こうした学派中でも実在論者の強硬派にかかると、もっと単純に巨大基数公理は「真」であるとすら言われるこのような見解は、集合論学者全体の中では決し一般的ではない。一部形式主義者に言わせれば、標準的な集合論は定義からして ZFC結果研究することになるので、他の体系から得られる結果研究するなとは原理的に言いはしないものの、巨大基数取り立てて重視することはない。また実在論者の中にも本体論的極大主義英語版)を正当な動機として認めない人々居て巨大基数公理は偽であるとすら信じている。そして最後に巨大基数公理否認制限的「である」ことすら否定する人々居て、(例えば)L の中に可測基数存在するような推移的集合モデル存在可能だ指摘している(L 自体そのような性質満たさないにも関わらず)。

※この「動機および認識論的状況」の解説は、「巨大基数」の解説の一部です。
「動機および認識論的状況」を含む「巨大基数」の記事については、「巨大基数」の概要を参照ください。

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