標構バンドル上の定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/21 09:18 UTC 版)
「アフィン接続」の記事における「標構バンドル上の定義」の解説
「接続 (主バンドル)」も参照 アフィン接続は、多様体 M の標構バンドル（英語版） FM や GL(M) 上の主 GL(n) 接続 ω としても定義することができる。さらに詳しくは、ω は、次の 2つの条件を満たす、標構バンドルの接バンドル T(FM) から n×n 行列の空間への滑らかな写像である（それらは、可逆な n×n 行列であるリー群 GL(n) のリー代数 gl(n) である)。 ω は T(FM) や gl(n) 上の作用に関して、同変（英語版）である。 gl(n) の任意の ξ に対して ω(Xξ) = ξ である。ここに Xξ は ξ に対応する FM 上のベクトル場である。 そのような接続 ω は直ちに、接バンドル上のみならず随伴した（英語版）ベクトルバンドル上を、GL(n) の任意の群表現への共変微分の定義を拡張した。これはテンソルやテンソル密度（英語版）(tensor densities)のバンドルを意味している。逆に、接バンドル上のアフィン接続は、たとえば、曲線を平行移動により定義される標構バンドルへ持ち上げるため、ω が接ベクトル上で 0 となることを要求することにより、標構バンドル上のアフィン接続を決定する。 標構バンドルは、接合形式（英語版） θ : T(FM) → Rn も持っていて、ベクトル場 Xξ の点での値のように垂直ベクトル（英語版）が 0 となるという意味で水平である。実際、θ は最初に接ベクトルの M への（標構 f での FM への）射影により、従って、標構 f での M 上の接ベクトルの成分をとることにより、定義される。θ は GL(n)-同変である（ここに、GL(n) は Rn 上へ行列の積として作用する）。 ペア (θ,ω) は、自明バンドル FM × aff(n) を持つ T(FM) のバンドル同型（英語版）を定義する。ここに、aff(n) は Rn と gl(n) のデカルト積である（アフィン群のリー代数とみなし、半直積的に作用する、以下を参照）。
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