平行移動 (リーマン幾何学)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/22 20:36 UTC 版)
幾何学において、平行移動(parallel transport)とは、多様体上の滑らかな曲線に沿って幾何学的なデータを移動する方法である。
概要
多様体が アフィン接続を備えている(あるいは 接束上に共変微分か接続 が定まっている場合)、この接続を使用すると、接続に対する平行性を維持できるように、曲線に沿って、多様体に”生えた”ベクトルを移動できる。したがって、接続が定める平行移動は、ある意味では、「曲線に沿って多様体の局所的なジオメトリを移動する方法」、つまり、近くの点同士のジオメトリを関連付ける(「接続」(connect)する)方法を提供する。
意味を成す「平行移動」の特徴はいろいろとあり得るが、一つの特徴 —つまり、曲線上の点達のgeometries を関連づける（connectingする、接続する）—接続を定めることに相当する。実際、通常の意味での接続の概念は、平行移動の無限小近似である。また逆に、平行移動を定めることは接続の局所的な実現である。
平行移動は、接続の局所的な実現を提供するので、ホロノミーとして知られている曲率の局所的な実現も提供する。 Ambrose–Singer theoremは曲率とホロノミーの間のこの関係を明示的に行う。
接続の他の特徴としては、固有の平行移動システムを備えることである。例えば、 ベクトル束のKoszul接続では、共変微分の場合と同じ方法で平行移動を定めることができる。 エーレスマン接続やカルタン接続は、多様体から 主束の全空間に対する「曲線の持ち上げ」を定める。このような「曲線の持ち上げ」は、基準系の平行移動と考えられることがある。
ベクトル束上の平行移動
Mは滑らかな多様体、E→Mは ベクトル束であり、 このベクトル束Eは、共変微分 ∇を備える。 また、γ: I→M は、開区間 Iによって径数づけられた滑らかな曲線である。
平行移動は、曲線に沿って有限のステップをとり、 レヴィ・チヴィタの擬平行四辺形を、平行四辺形近似するシルトのはしごによって離散的に近似できる。
関連項目
- 一般相対性理論の数学入門
- 接続 (微分幾何学)
- 発展 (微分幾何学)
- アフィン接続
- en:Covariant derivative
- 一般相対性理論における測地線
- Berry位相
- リー微分
- シルトのはしご
- レヴィ・チヴィタの擬平行四辺形
- 平行曲線、名称が似ているが別の概念
脚注
- Guggenheimer, Heinrich (1977), Differential Geometry, Dover, ISBN 0-486-63433-7
- Knebelman (1951), “Spaces of relative parallelism”, Annals of Mathematics, 2 (The Annals of Mathematics, Vol. 53, No. 3) 53 (3): 387–399, doi:10.2307/1969562, JSTOR 1969562
- Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Volume 1, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3; Volume 2, ISBN 0-471-15732-5.
- Lumiste, Ü. (2001), “Connections on a manifold”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
外部リンク
- Spherical Geometry Demo. 球上の接線ベクトルの平行移動を示すアプレット。
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