平行移動からの接続の復元
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/07 16:37 UTC 版)
「平行移動 (リーマン幾何学)」の記事における「平行移動からの接続の復元」の解説
共変微分∇が与えられると、任意の滑らかな曲線γに対して、「γ に沿って平行」という概念が ∇ γ ˙ = 0 {\displaystyle \scriptstyle {\nabla _{\dot {\gamma }}=0}} によって定まり、「γに沿った平行移動」も定まった。では逆に、適切な平行移動が定まった場合に、平行移動から接続定めることが出来るのだろうか？このアプローチは、本質的にKnebelman (1951)に準拠している; Guggenheimer (1977)と、 Lumiste (2001) も参照のこと。 多様体上の任意の曲線γそれぞれ対して、 Γ ( γ ) s t : E γ ( s ) → E γ ( t ) {\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:E_{\gamma (s)}\rightarrow E_{\gamma (t)}} が定まり、以下を充たしているものとする。 Γ ( γ ) s s = I d {\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{s}=Id} , これはEγ(s)の恒等変換である。 Γ ( γ ) u t ∘ Γ ( γ ) s u = Γ ( γ ) s t . {\displaystyle \Gamma (\gamma )_{u}^{t}\circ \Gamma (\gamma )_{s}^{u}=\Gamma (\gamma )_{s}^{t}.} Γ ( γ ) s t {\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}} はsと t に対して滑らかであり、γに対しても滑らかである。 上記3において、「滑らか」という概念がでてくるが、これを噛み砕くのはやや難しい。 小林や野水などの現代的な書物の著者は、概して、「滑らかさ」がより容易に表現される他の意味での接続から来ているとして、接続の平行移動を見ている。それにもかかわらず、平行移動においてこのような規則を考えると、Eにおける接続を以下のように「復元」することが可能である。 γはM上の微分可能な曲線であり、その初期値はγ(0)で、接ベクトルの初期条件はX = γ′(0)であるものとする。V は、ベクトル束Eの、曲線γに沿った切断であるとしたとき、 ∇ X V := lim h → 0 Γ ( γ ) h 0 V γ ( h ) − V γ ( 0 ) h = d d t Γ ( γ ) t 0 V γ ( t ) | t = 0 . {\displaystyle \nabla _{X}V:=\lim _{h\to 0}{\frac {\Gamma (\gamma )_{h}^{0}V_{\gamma (h)}-V_{\gamma (0)}}{h}}=\left.{\frac {d}{dt}}\Gamma (\gamma )_{t}^{0}V_{\gamma (t)}\right|_{t=0}.} は、関連するinfinitesimal connection ∇ を、 E上に定める。我々は、このinfinitesimal connectionから、同じ平行移動Γ を復元出来る。
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