平行線の間の距離
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 09:47 UTC 版)
詳細は「二直線間の距離（英語版）」を参照 ユークリッド平面内の平行線は等距離（英語版）だから、平行な二直線間の距離は一意に決まる。軸に平行でない平行二直線の方程式を { y = m x + b 1 y = m x + b 2 {\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=mx+b_{2}\end{cases}}} としてこれらに直線の間の距離は、これら平行線の共通垂線との交点となる二点の位置を決定し、それらの間の距離を測れば求められる。共通の傾きを m としたから、共通垂線の傾きは −1/m であり、用いる垂線は何でもよいので、y = −x/m を用いることにすれば、二つの交点は ( x i , y i ) = ( − b i m m 2 + 1 , b i m 2 + 1 ) ( i = 1 , 2 ) {\textstyle (x_{i},y_{i})=({\frac {-b_{i}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{i}}{m^{2}+1}})\quad (i=1,2)} と求まる（ただし、この交点の座標は m = 0 でも有効）から、これら二点間の距離 d = ( b 1 m − b 2 m m 2 + 1 ) 2 + ( b 2 − b 1 m 2 + 1 ) 2 = | b 2 − b 1 | m 2 + 1 {\displaystyle d={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}} が得られる。 同様に、直線を一般形の方程式 { a x + b y + c 1 = 0 a x + b y + c 2 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}ax+by+c_{1}=0\\ax+by+c_{2}=0\end{cases}}} で与えたときのそれらの間の距離は d = | c 2 − c 1 | a 2 + b 2 {\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} と書ける。
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