運動方程式と応答
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/28 09:45 UTC 版)
サイズモ系は、1つの質量要素と、これを弾性要素、減衰要素で並列に支える基礎から構成される。さらに、振動は変位振動として基礎に与えられる。このような基礎側から振動が伝わる系を基礎励振系とも呼ぶ。 弾性要素と減衰要素が各1つの場合、運動方程式は以下のように得られる。 m x ¨ + c ( x ˙ − u ˙ ) + k ( x − u ) = 0 {\displaystyle m{\ddot {x}}+c({\dot {x}}-{\dot {u}})+k(x-u)=0} ここで、m：質量、c：減衰係数、k：ばね定数、x：質量の平衡点からの距離で、上付きドットは時間微分である。さらに u は基礎の変位で、例として、以下のような単純な調和振動を行うとする。 u = u 0 cos ( Ω t ) {\displaystyle u=u_{0}\cos(\Omega t)} ここで、u0：変位振幅、Ω：変位振動の角振動数、t：時間である。上式を相対変位 xr = x − u で置き換えると、 m x ¨ r + c x ˙ r + k x r = − m u ¨ = m u 0 Ω 2 cos ( Ω t ) {\displaystyle m{\ddot {x}}_{r}+c{\dot {x}}_{r}+kx_{r}=-m{\ddot {u}}=mu_{0}\Omega ^{2}\cos(\Omega t)} さらに以下のように変形を行う。 x ¨ r + 2 ζ ω n x ˙ r + ω n 2 x r = u 0 Ω 2 cos ( Ω t ) {\displaystyle {\ddot {x}}_{r}+2\zeta \omega _{n}{\dot {x}}_{r}+\omega _{n}^{2}x_{r}=u_{0}\Omega ^{2}\cos(\Omega t)} ここで、 c c = 2 m k {\displaystyle c_{c}=2{\sqrt {mk}}} 、 ζ = c / c c {\displaystyle \zeta =c/c_{c}} 、 ω n = k / m {\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {k/m}}} である。この方程式の解の定常項は以下のように書き表される。 x r = u 0 ν 2 M d cos ( Ω t + ϕ ) {\displaystyle x_{r}=u_{0}\nu ^{2}M_{d}\cos(\Omega t+\phi )} M d = 1 ( 1 − ν 2 ) 2 + ( 2 ζ ν ) 2 {\displaystyle M_{d}={\frac {1}{\sqrt {(1-\nu ^{2})^{2}+(2\zeta \nu )^{2}}}}} ϕ = arctan ( − 2 ζ ν 1 − ν 2 ) {\displaystyle \phi =\arctan(-{\frac {2\zeta \nu }{1-\nu ^{2}}})} ν = Ω / ω n {\displaystyle \nu =\Omega /\omega _{n}} ただし、ここでは −π < φ < 0である。 上式により質点変位 x は以下のように得られる。 x = x r + u = u 0 ν 2 M d cos ( Ω t + ϕ ) + u 0 cos ( Ω t ) = u 0 T r cos ( Ω t + ϕ + ψ ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x&=x_{r}+u\\&=u_{0}\nu ^{2}M_{d}\cos(\Omega t+\phi )+u_{0}\cos(\Omega t)\\&=u_{0}T_{r}\cos(\Omega t+\phi +\psi )\\\end{alignedat}}} T r = 1 + ( 2 ζ ν ) 2 ( 1 − ν ) 2 + ( 2 ζ ν ) 2 {\displaystyle T_{r}={\frac {\sqrt {1+(2\zeta \nu )^{2}}}{\sqrt {(1-\nu )^{2}+(2\zeta \nu )^{2}}}}} ψ = arctan ( 2 ζ ν ) {\displaystyle \psi =\arctan(2\zeta \nu )} ここで、Tr は、基礎の変位振幅 u0 と質点変位振幅 X0 の比を意味しており、変位伝達率とよぶ。 T r = X 0 / u 0 {\displaystyle T_{r}=X_{0}/u_{0}}
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