弦の場の理論

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弦の場の理論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/04 09:07 UTC 版)

弦の場の理論（げんのばのりろん、英語: String Field Theory）とは、相対論的な弦の力学が場の量子論の言葉で再定式化されるような弦理論の定式化である。弦の散乱振幅を弦の結合と分岐の頂点、及びプロパゲーター(propagator)を見つけることにより、この定式化は摂動論のレベルで完成している。これによりファインマン・ダイアグラムの様な振幅が与えられる。大半の弦理論ではこの振幅は、自由弦と加えられた相互作用項を第二量子化することにより得られる古典的作用によりエンコードされている。通常の（場の理論の）第二量子化の場合と同様に、その定式化の古典場の構成は、元々の理論の波動関数により与えられる。このことは、弦の場の理論の場合も 弦の場 と呼ばれる古典的構成が、自由弦の作るフォック空間の元で与えられることを意味する。

定式化の主要な有利点は、オフシェル(off-shell)の確率振幅の計算が可能なことであり、古典的作用が有効なときには、弦の散乱の標準的な種数による方法からは、直接見ることのできない非摂動的な情報をもたらすことである。特に、アショク・セン(Ashoke Sen)の研究 に従うと、不安定なDブレーン(D-brane)上のタキオン凝縮(tachyon condensation)の研究に役立つ。弦の場の理論は、

• 位相的弦理論や
• 非可換幾何学や
• 低次元の弦理論

にも応用出来る。

弦の場の理論は、第二量子化される弦のタイプによって多くの多様性を持っている。開弦の場の理論 は開弦の振幅を記述し、閉弦の場の理論 は閉弦の場の理論を記述し、開閉弦の場の理論 開弦と閉弦の双方の場の理論を意味する。

加えて、元々の自由弦の理論でワールドシートの微分同相写像と共形変換をどのように固定するかに依存して、結果として現れる弦の場の理論は、非常に異なったものとなりうる。光円錐ゲージ理論(light cone gauge)を使うと、光円錐ゲージの弦の場の理論 を得る。一方、BRST量子化(BRST quantization)を使うと 共変な弦の場の理論 を得る。これらをハイブリッドにした弦の場の理論もあり、共変光円錐ゲージの弦の場の理論 と呼ばれ、光錐ゲージ固定とBRSTゲージ固定を行う弦の場の理論を使う。

弦の場の理論の最終的な形は、背景独立な開弦の場の理論 と呼ばれ、全く別の形態を取る。ワールドシートの弦理論を第二量子化することに替わり、2-次元の場の量子論の空間を第二量子化する。

光錐の弦の場の理論

光錐の弦の場の理論はスタンレイ・マンデルスタム(Stanley Mandelstam)により導入され、マンデルスタムやマイケル・グリーン(Michael Green)やジョン・シュワルツ(John Schwarz)やラース・ブリンク(Lars Brink)により開発された。 光錐の弦の第二量子化の明らかな記述は、ミチオ・カク(Michio Kaku)と吉川・圭二(Keiji Kikkawa)により与えられた。

光錐の弦の場の理論は構成された最初の弦の場の理論であり、光錐ゲージの弦の散乱の単純さを基礎としている。例えば、ボゾン閉弦(bosonic closed string)の場合には、ワールドシートの散乱図形は自然にファインマン図形のような形をなり、下図のように一つのプロパゲーターの2つの成分から作られる。

さらに、結合と分岐のための2つの頂点は、3つのプロパゲーターを貼り合わせを使うことができて、下図のようになる。

これらの頂点とプロパゲーターは、 $n$

赤い線に沿って $b$

3次元に埋め込まれた頂点を表現するために、プロパゲーターは中線に沿って半分に折り曲げてある。その結果により得られる幾何学は、3つのプロパゲーターの中線が出会い、曲率が特異となるただ一つの点を除き、完全に平坦である。

これらのファインマン・ダイアグラムは、開弦の散乱ダイアグラムのモジュライ空間の完全な被覆空間を生みだす。このことから、オンシェルの振幅に対し、ウィッテンの開弦の場の理論を使い計算された n-個の点を持つ開弦の振幅は、通常のワールドシートの方法を使い計算された振幅と同一である。 ウィッテンの弦の場の理論を使った最初のオフシェル計算は、スチュアート・サミュエル(Stuart Samuel)により行われた。

超対称性と共変な開弦の場の理論

ウィッテンの3次の開弦の場の理論の超対称的拡張を構成する主要な方法は、2つある。一つは、ボゾンの仲間の形によく似せて構成する方法で、変形された3次超弦理論の場の理論(modified cubic superstring field theory)である。2つめは、ナタン・バーコヴィッツ(Nathan Berkovits)による全く異なった、WZWモデル(WZW model)タイプの作用をベースとした方法である。

変形された3次超弦理論の場の理論

ウィッテンの3次の開弦の場の理論のRNS弦への拡張である整合性を持つ第一の拡張は、クリスティアン・プレイトショフ、チャールズ・ソーン(Charles Thorn)、スコット・ヨスト、さらに独立に、イリーナ・アレフェエバ(Irina Aref'eva)、メドヴェーデフ(P. B. Medvedev)、ズバレフ(A. P. Zubarev)により得られた。 NS弦は小さなヒルベルト空間（つまり $\eta _{0}|\Psi \rangle =0$