弦の固有振動
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/11/18 16:11 UTC 版)
線密度ρ(kg/m)で張力T(N)で引っ張られている弦に関して、 v = T / ρ {\displaystyle v={\sqrt {T/\rho }}} とおくと ∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ∂ t 2 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}y}{\partial x^{2}}}={1 \over {v^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}} の波動方程式を得る。この波動方程式を解くと、 y n ( x , t ) = A n sin n π x l sin ( ω n t + ϕ n ) ( n = 1 , 2 , 3 , … ) {\displaystyle y_{n}(x,t)=A_{n}\sin {n\pi x \over l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})\quad (n=1,2,3,\ldots )} … (3-1) このような各 y n ( x , t ) {\displaystyle y_{n}(x,t)} を基準モードという。また各y(x,t)は線形微分方程式の解であるから、それらの和もまた解である。したがって一般解は y ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ A n sin n π x l sin ( ω n t + ϕ n ) {\displaystyle y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {n\pi x \over l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})} … (3-2) (3-1)においてn=1,2,3の基準モードは右図のような振動を示す。 またこの系における固有角振動数は ω n = n π v l = n π l T ρ {\displaystyle \omega _{n}={n\pi v \over l}={n\pi \over l}{\sqrt {T \over \rho }}} である。
※この「弦の固有振動」の解説は、「固有振動」の解説の一部です。
「弦の固有振動」を含む「固有振動」の記事については、「固有振動」の概要を参照ください。
- 弦の固有振動のページへのリンク
