経路独立な線積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/27 04:49 UTC 版)
詳細は「勾配定理（英語版）」を参照 ベクトル場 F が何らかのスカラー場 G の勾配として ∇ G = F {\displaystyle \nabla G=\mathbf {F} } と書けるとき、G と r(t) との合成の導函数 d G ( r ( t ) ) d t = ∇ G ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) = F ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) {\displaystyle {\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)} は、F の r(t) 上の線積分の被積分函数である。従って、積分路 C を与えれば ∫ C F ( r ) ⋅ d r = ∫ a b F ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) d t = ∫ a b d G ( r ( t ) ) d t d t = G ( r ( b ) ) − G ( r ( a ) ) {\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a))} が成り立つ。言い換えれば、F の C 上の積分は、点 r(b) および r(a) 上の G の値のみに依存し、それらを結ぶ積分路の取り方に依らない。特に積分路 C が閉経路であるならば、積分は必ず 0 になるため、ベクトル場 F は保存ベクトル場（英語版）と呼ばれる。また、物理学において、このような性質を持つ力の場を保存力と呼ぶ。 このことから、保存ベクトル場の線積分は経路独立 (path independent) あるいは「積分経路に依らない」と言う。
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