転移温度の導出

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転移温度の導出

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 00:28 UTC 版)

「ボース＝アインシュタイン凝縮」の記事における「転移温度の導出」の解説

箱の中の理想ボース気体で、外部ポテンシャルの作用しない一様な系を考え、系の体積を V、粒子数を N とする。運動量 p の自由ボース粒子の1粒子エネルギーは、粒子の質量を m とするとεp=p2/2m で与えられる。系が温度 T、化学ポテンシャル μ の熱平衡状態にあるとき、エネルギー がεp である粒子数 np の熱統計平均〈np〉はボース分布によって、 ⟨ n p ⟩ = 1 e β ( ϵ p − μ ) − 1 = 1 z − 1 e β ϵ p − 1 で与えられる。但し、β=1/kBT は逆温度（kB はボルツマン定数）、z=eβμ は逃散能である。ここで1粒子基底エネルギー ε0=0 を含む全ての εp について〈np〉≥ 0となるために、逃散能は 0 0 の状態にある粒子数 N1 に分け、次のように表す。 N = z 1 − z + ∑ p ≠ 0 1 z − 1 e β ϵ p − 1 =: N 0 + N 1 逃散能 z の関数としてみたときに N1=N1(z) は z=1 で最大値を取る。一方、N0=N0(z) は z=1 で特異性を持ち、z→1の場合、N0 は非常に大きな値をとることができる。BECの転移温度 Tcは、N1(1) が全粒子数 N と一致する温度として定まり、 T c = h 2 2 π m k B × ( N ζ ( 3 / 2 ) V ) 2 / 3 で与えられる。