調和振動子ポテンシャルの系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 00:28 UTC 版)
「ボース＝アインシュタイン凝縮」の記事における「調和振動子ポテンシャルの系」の解説
中性原子気体の実験において、原子集団をトラップする外部ポテンシャルは調和振動子ポテンシャル V e x t ( r ) = m 2 ( ω x 2 x 2 + ω y 2 y 2 + ω z 2 z 2 ) {\displaystyle V_{\mathrm {ext} }({\boldsymbol {r}})={\frac {m}{2}}(\omega _{x}^{2}x^{2}+\omega _{y}^{2}y^{2}+\omega _{z}^{2}z^{2})} で近似できる。1粒子エネルギーは ϵ n = ℏ ω x ( n x + 1 2 ) + ℏ ω y ( n y + 1 2 ) + ℏ ω z ( n z + 1 2 ) {\displaystyle \epsilon _{\boldsymbol {n}}=\hbar \omega _{x}{\biggl (}n_{x}+{\frac {1}{2}}{\biggr )}+\hbar \omega _{y}{\biggl (}n_{y}+{\frac {1}{2}}{\biggr )}+\hbar \omega _{z}{\biggl (}n_{z}+{\frac {1}{2}}{\biggr )}} であり、基底エネルギーは ϵ 0 = ℏ 2 ( ω x + ω y + ω z ) {\displaystyle \epsilon _{\boldsymbol {0}}={\frac {\hbar }{2}}(\omega _{x}+\omega _{y}+\omega _{z})} である。調和振動子ポテンシャルにトラップされた理想ボース気体の系ではBECの転移温度は T c = ℏ ω ¯ k B × ( N ζ ( 3 ) ) 1 / 3 {\displaystyle T_{c}={\frac {\hbar {\bar {\omega }}}{k_{\mathrm {B} }}}\times \left({\frac {N}{\zeta (3)}}\right)^{\!1/3}} となる。但し、ωは幾何平均 ω ¯ = ( ω x ω y ω z ) 1 / 3 {\displaystyle {\bar {\omega }}=(\omega _{x}\omega _{y}\omega _{z})^{1/3}} である。BEC状態になった粒子の数 N0 は、 N 0 = N { 1 − ( T T c ) 3 } {\displaystyle N_{0}=N\!\left\{1-\left({\frac {T}{T_{c}}}\right)^{\!3}\right\}} となる。
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