調和性と非調和性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/01 05:24 UTC 版)
3次元結晶のポテンシャルエネルギーを平衡位置からのずれ（変位） u {\displaystyle u} でテイラー展開すると、次のように書ける。 U = U 0 + ∑ l b α ∂ U ∂ u α ( l b ) | 0 u α ( l b ) + 1 2 ! ∑ l b , l ′ b ′ ∑ α β ∂ 2 U ∂ u α ( l b ) ∂ u β ( l ′ b ′ ) | 0 u α ( l b ) u β ( l ′ b ′ ) + 1 3 ! ∑ l b , l ′ b ′ , l ″ b ″ ∑ α β γ ∂ 2 U ∂ u α ( l b ) ∂ u β ( l ′ b ′ ) ∂ u γ ( l ″ b ″ ) | 0 u α ( l b ) u β ( l ′ b ′ ) u γ ( l ″ b ″ ) + … = U 0 + 1 2 ! ∑ l b , l ′ b ′ ∑ α β Φ α β ( l b , l ′ b ′ ) u α ( l b ) u β ( l ′ b ′ ) + 1 3 ! ∑ l b , l ′ b ′ , l ″ b ″ ∑ α β γ Φ α β γ ( l b , l ′ b ′ , l ″ b ″ ) u α ( l b ) u β ( l ′ b ′ ) u γ ( l ″ b ″ ) + … = U 0 + U 2 + U 3 + … {\displaystyle {\begin{aligned}U&=U_{0}+\sum _{lb\alpha }{\frac {\partial U}{\partial u_{\alpha }(lb)}}{\Bigg |}_{0}u_{\alpha }(lb)+{\frac {1}{2!}}\sum _{lb,l'b'}\sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}U}{\partial u_{\alpha }(lb)\partial u_{\beta }(l'b')}}{\Bigg |}_{0}u_{\alpha }(lb)u_{\beta }(l'b')+{\frac {1}{3!}}\sum _{lb,l'b',l''b''}\sum _{\alpha \beta \gamma }{\frac {\partial ^{2}U}{\partial u_{\alpha }(lb)\partial u_{\beta }(l'b')\partial u_{\gamma }(l''b'')}}{\Bigg |}_{0}u_{\alpha }(lb)u_{\beta }(l'b')u_{\gamma }(l''b'')+\dots \\&=U_{0}+{\frac {1}{2!}}\sum _{lb,l'b'}\sum _{\alpha \beta }\Phi _{\alpha \beta }(lb,l'b')u_{\alpha }(lb)u_{\beta }(l'b')+{\frac {1}{3!}}\sum _{lb,l'b',l''b''}\sum _{\alpha \beta \gamma }\Phi _{\alpha \beta \gamma }(lb,l'b',l''b'')u_{\alpha }(lb)u_{\beta }(l'b')u_{\gamma }(l''b'')+\dots \\&=U_{0}+U_{2}+U_{3}+\dots \\\end{aligned}}} ここで α , β , γ , … {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\dots } は x , y , z {\displaystyle x,y,z} のいずれか、 l {\displaystyle l} は結晶中の単位セルの位置、 b {\displaystyle b} は単位セル中の原子の位置を表す。 U 2 {\displaystyle U_{2}} は調和ポテンシャル、 U 3 , U 4 , … {\displaystyle U_{3},U_{4},\dots } は非調和ポテンシャルと呼ばれる。 振動が小さいならば、調和振動と見なすことができる。この調和近似のときは、以下のことが結論できる。 2つの格子波は相互作用しない。1個の波動は減衰しないし、時間が経過しても形が変わらない。 熱膨張がない 等温弾性定数と断熱弾性定数は等しい。 弾性定数は圧力と温度に無関係である。 （デバイ温度より）高い温度で、比熱は一定になる。 一方で振動が激しいときは、非調和振動の影響が大きくなり、モード間での相互作用が生じる。その結果、熱膨張や格子波の減衰などの現象が起こる。
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