分解型複素数の幾何
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/31 14:19 UTC 版)
ミンコフスキー内積を備えた実二次元線型空間は (1 + 1)-次元ミンコフスキー空間と呼ばれ、しばしば ℝ1,1 と表される。ユークリッド平面 ℝ2 における幾何学が複素数を用いて記述できるのと同様に、ミンコフスキー平面 ℝ1,1 における幾何学は分解型複素数を用いて記述できる。 0 でない任意の実数 a に対し、点集合 { z : ‖ z ‖ = a 2 } {\displaystyle \{z:\lVert z\rVert =a^{2}\}} は双曲線を成す。この双曲線は左右に (a, 0) を通るものと (−a, 0) を通るものの2つの枝を持つ。a = 1 の場合を単位双曲線 と呼ぶ。各 a に対しその共軛双曲線は { z : ‖ z ‖ = − a 2 } {\displaystyle \{z:\lVert z\rVert =-a^{2}\}} で与えられる。これは上下に (0, a) を通るものと (0, −a) を通るものの2つの枝を持つ。この双曲面とその共軛双曲面とは、ヌル元全体の集合 { z : ‖ z ‖ = 0 } {\displaystyle \{z:\lVert z\rVert =0\}} の成す、対角線上にある2つの漸近線によって隔てられている。しばしばヌル錐 (null cone) とも呼ばれるこの2本の直線は傾き ±1 を持ち、ℝ2 において直交する。 分解型複素数 z, w が ⟨z, w⟩ = 0 を満たすとき、双曲的に直交する（英語版）という。これは特に通常の複素数の算術として知られている通常の意味での直交性の類似であるけれども、この条件はそれよりは判りにくいものである。これは時空における同時超平面 (simultaneous hyperplane) の概念の根幹を成す。 複素数におけるオイラーの公式の分解型複素数に該当する類似物として exp ( j θ ) = cosh ( θ ) + j sinh ( θ ) {\displaystyle \exp(j\theta )=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )} が成立する。このことは、双曲線余弦関数 cosh(θ) の冪級数展開が偶数次の項のみからなり、双曲線正弦関数 sinh(θ) が奇数次の項のみからなることを用いて導出することができる。任意の実数値を取る双曲角（英語版） θ に対し、分解型複素数 λ := exp(jθ) はノルムが 1 で単位双曲線の右側の枝上にある。このような数 λ は双曲ベルソルと呼ばれる。 λ は絶対値が 1 であるから、任意の分解型複素数 z への λ を掛ける操作は z の絶対値を保ち、双曲的回転（狭義ローレンツ変換、縮小写像とも）を表現する（「回転」というのは絶対値 1 の通常の複素数を掛ける操作が ℝ2 の回転を引き起こすことからの示唆）。λ を掛ける操作は、双曲線をそれ自身に写し、ヌル錐をそれ自身に写すという意味で、幾何学的な構造を保つ。 分解型複素平面上の絶対値を保存する（同じことだが内積を保存する）変換全体の成す集合は不定値直交群（英語版） O(1, 1) と呼ばれる群を成す。この群は双曲的回転と z ↦ ±z および z ↦ ±z* で与えられる4つの離散的鏡映変換の組み合わせからなる（双曲的回転の全体は SO+(1, 1) で表される O(1, 1) の部分群を成す）。 双曲角 θ を双曲回転 exp(jθ) へ写す指数写像 exp : ( R , + ) → S O + ( 1 , 1 ) {\textstyle \exp \colon (\mathbb {R} ,+)\to {\mathit {SO}}^{+}(1,1)} は、通常の指数法則を用いれば e j ( θ + ϕ ) = e j θ e j ϕ {\textstyle e^{j(\theta +\phi )}=e^{j\theta }e^{j\phi }} が成立するから、群同型である。
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