分解定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 21:23 UTC 版)
「発散 (ベクトル解析)」の記事における「分解定理」の解説
詳細は「ヘルムホルツ分解」を参照 R3 内の少なくとも二回連続的微分可能な定常流束 v(r) が十分遠く (r → ∞) で消えているならば、v(r) は無回転成分 (irrotational part) E(r) と無発散成分 (source-free part) B(r) に分解される。さらに、 これらの成分は「湧出密度」（上述）と「循環密度」（回転の項を参照）から明示的に決定される。即ち、無回転成分は E = − ∇ Φ ( r ) , Φ ( r ) = ∫ R 3 d 3 r ′ div v ( r ′ ) 4 π | r − r ′ | {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi (\mathbf {r} ),\quad \Phi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\,d^{3}\mathbf {r} '\;{\frac {\operatorname {div} \mathbf {v} (\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}} で与えられ、無発散成分 B もスカラーポテンシャル Φ(r) をベクトルポテンシャル A(r) で、−∇Φ を ∇ × A で、湧出密度 div v を循環密度 ∇ × v でそれぞれ置き換えた、 B = ∇ × A ( r ) , A ( r ) = ∫ R 3 d 3 r ′ ∇ × v ( r ′ ) 4 π | r − r ′ | {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} ),\quad \mathbf {A} (\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\,d^{3}\mathbf {r} '\;{\frac {\nabla \times \mathbf {v} (\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}} で与えられる。 この「分解定理」は電気力学でも定常流に関する研究の副産物として得られた事実であり、三次元以外でも通用するもっと一般のヘルムホルツ分解の特別の場合である。
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