定理からの派生的な結果
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/29 09:05 UTC 版)
「ベイカーの定理」の記事における「定理からの派生的な結果」の解説
定理1 から得られる系をいくつか挙げる。 系1 α 1 , … , α n {\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1},\ldots ,\ \alpha _{n}} を 0 ではない代数的数とする。また、 β 0 , β 1 , … , β n {\displaystyle \scriptstyle \beta _{0},\ \beta _{1},\ldots ,\ \beta _{n}} を β 0 ≠ 0 {\displaystyle \scriptstyle \beta _{0}\neq 0} を満たす代数的数としたとき、 β 0 + β 1 log α 1 + ⋯ + β n log α n ≠ 0 {\displaystyle \beta _{0}+\beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n}\log \alpha _{n}\neq 0} 。 系2 α 1 , … , α n , β 0 , β 1 , … , β n {\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1},\ldots ,\ \alpha _{n},\ \beta _{0},\ \beta _{1},\ldots ,\ \beta _{n}} を 0 ではない代数的数としたとき、 e β 0 α 1 β 1 ⋯ α n β n {\displaystyle e^{\beta _{0}}\alpha _{1}^{\beta _{1}}\cdots \alpha _{n}^{\beta _{n}}} は、超越数である。 系3 α 1 , … , α n {\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1},\ldots ,\ \alpha _{n}} を 0 でも 1 でもない代数的数とする。また、 β 1 , … , β n {\displaystyle \scriptstyle \beta _{1},\ldots ,\ \beta _{n}} を、 1 , β 1 , … , β n {\displaystyle \scriptstyle 1,\ \beta _{1},\ldots ,\ \beta _{n}} が、有理数上線形独立な代数的数としたとき、 α 1 β 1 ⋯ α n β n {\displaystyle \alpha _{1}^{\beta _{1}}\cdots \alpha _{n}^{\beta _{n}}} は、超越数である。 系3で、 n = 1 {\displaystyle n=1} とすることにより、ゲルフォント＝シュナイダーの定理が導かれる。 定理2から得られる系をいくつか挙げる。 系4 α 1 , … , α n {\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1},\ldots ,\ \alpha _{n}} を 0 ではない、次数が d 以下の代数的数とし、高さに対して、 α 1 , … , α n − 1 {\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1},\ldots ,\ \alpha _{n-1}} については、A 以下、 α n {\displaystyle \scriptstyle \alpha _{n}} は、 A ′ ( ≥ 4 ) {\displaystyle \scriptstyle A'(\geq 4)} 以下とする。 β 0 , β 1 , … , β n {\displaystyle \scriptstyle \beta _{0},\ \beta _{1},\ldots ,\ \beta _{n}} を、次数が d 以下、高さが B ( ≥ 2 ) {\displaystyle \scriptstyle B(\geq 2)} 以下の代数的数としたとき、 Λ = β 0 + β 1 log α 1 + ⋯ + β n log α n {\displaystyle \Lambda =\beta _{0}+\beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n}\log \alpha _{n}} とおくと、 Λ = 0 {\displaystyle \Lambda =0} または、 | Λ | > ( B log A ) − C log A {\displaystyle |\Lambda |>(B\log A)^{-C\log A}} である。 ここで、C は、n、 d、 A ′ {\displaystyle A'} 、 そして、対数の値によって定まる計算可能な定数である。 系5 α 1 , … , α n {\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1},\ldots ,\ \alpha _{n}} を 0 ではない、次数が d 以下、高さが A 以下の代数的数とする。また、 β 1 , … , β n {\displaystyle \scriptstyle \beta _{1},\ldots ,\ \beta _{n}} を、絶対値が B ( ≥ 2 ) {\displaystyle \scriptstyle B(\geq 2)} 以下の有理整数としたとき、 Λ = β 1 log α 1 + ⋯ + β n log α n {\displaystyle \Lambda =\beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n}\log \alpha _{n}} とおくと、 Λ = 0 {\displaystyle \Lambda =0} または、 | Λ | > C − log A log B {\displaystyle |\Lambda |>C^{-\log A\log B}} である。 ここで、C は、n、 d、 そして、対数の値によって定まる計算可能な定数である。 系6 α 1 , … , α n {\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1},\ldots ,\ \alpha _{n}} を 0 ではない、次数が d 以下、高さが A 以下の代数的数とする。また、 β 1 , … , β n − 1 {\displaystyle \scriptstyle \beta _{1},\ldots ,\ \beta _{n-1}} を、絶対値が B ( ≥ 2 ) {\displaystyle \scriptstyle B(\geq 2)} 以下の有理整数としたとき、任意の正数 ε に対して、 Λ = β 1 log α 1 + ⋯ + β n − 1 log α n − 1 − log α n {\displaystyle \Lambda =\beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n-1}\log \alpha _{n-1}-\log \alpha _{n}} とおくと、 Λ = 0 {\displaystyle \Lambda =0} または、 | Λ | > A − C e − ε B {\displaystyle |\Lambda |>A^{-C}e^{-\varepsilon B}} である。 ここで、C は、n、 d、ε、 そして、対数の値によって定まる計算可能な定数である。
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