定理の一般化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 22:41 UTC 版)
上記の定理は整数とその剰余に関するものであるが、これを一般の単位元を持つ環とそのイデアルに対するものに拡張することができる。すなわち： R を単位元を持つ環とし、R の両側イデアル I1, I2, ..., Ik がどの二つも互いに素である（すなわち、i ≠ j ならば Ii + Ij = R が成立する）と仮定する。このとき、任意に与えられた a1, a2, ..., ak ∈ R に対して、 x ≡ a 1 ( mod I 1 ) , x ≡ a 2 ( mod I 2 ) , ⋮ x ≡ a k ( mod I k ) {\displaystyle {\begin{aligned}x&\equiv a_{1}{\pmod {I_{1}}},\\x&\equiv a_{2}{\pmod {I_{2}}},\\&\vdots \\x&\equiv a_{k}{\pmod {I_{k}}}\end{aligned}}} を満たす x ∈ R が、イデアル I = ⋂ i = 1 k I i {\displaystyle \textstyle I=\bigcap _{i=1}^{k}I_{i}} を法として一意的に存在する。言い換えると、自然な環準同型 R → ∏ i = 1 k R / I i , x ↦ ( x + I 1 , x + I 2 , … , x + I k ) {\displaystyle R\to \prod _{i=1}^{k}R/I_{i},\;x\mapsto (x+I_{1},x+I_{2},\dotsc ,x+I_{k})} は全射であり、準同型定理より環同型 R / I ≅ ∏ i = 1 k R / I i {\displaystyle R/I\cong \prod _{i=1}^{k}R/I_{i}} が得られる。これも中国の剰余定理と呼ばれる。さらに R が可換環であるとき、 I 1 I 2 ⋯ I k ⊃ ⋂ i = 1 k I i {\displaystyle I_{1}I_{2}\dotsm I_{k}\supset \bigcap _{i=1}^{k}I_{i}} が二つの異なるイデアルが互いに素であることから従う。逆向きの包含は一般に成立するので、 I 1 I 2 ⋯ I k = ⋂ i = 1 k I i {\displaystyle I_{1}I_{2}\dotsm I_{k}=\bigcap _{i=1}^{k}I_{i}} が成立する。（R が可換でないときは、「互いに素」という条件を仮定しても上記の等号は一般には成立しない。）
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