一様連続性、一様同型
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/22 02:34 UTC 版)
一様空間では一様連続性が定義可能である： 定義 (一様連続性) ― ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} 、 ( Y , V ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {V}})} を一様空間とする。このとき写像 f : X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y} が一様連続（英: uniformly continuous）であるとは、任意の V ∈ V {\displaystyle V\in {\mathcal {V}}} に対し、 { ( x 1 , x 2 ) ∈ X × X ∣ ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) ∈ V } ∈ U {\displaystyle \{(x_{1},x_{2})\in X\times X\mid (f(x_{1}),f(x_{2}))\in V\}\in {\mathcal {U}}} が成立する事を言う。 fが一様連続な全単射で、しかもf-1も一様連続なとき、fを一様同型写像(英: uniformly isomorphism)といい、XとYは一様同型（英: uniformly equivalent）であるという。 後述するように、擬距離から定まる一様構造の場合は、上記の概念は擬距離空間における一様連続性の概念と一致する。一様連続な関数は必ず連続である： 定理 (一様連続なら連続) ― 一様空間 ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} から一様空間 ( Y , V ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {V}})} への写像 f : X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y} が一様連続なら、一様構造 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 、 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} が定める位相によりX、Yを位相空間とみなしたとき f : X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y} は連続である。
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