一様連続性とリーマン・ルベーグの補題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 04:25 UTC 版)
「フーリエ変換」の記事における「一様連続性とリーマン・ルベーグの補題」の解説
可積分関数のフーリエ変換は、常に成り立つというわけではない性質も持っている。可積分関数 ƒ のフーリエ変換は一様連続で ‖ f ^ ‖ ∞ ≤ ‖ f ‖ 1 {\displaystyle \|{\hat {f}}\|_{\infty }\leq \|f\|_{1}} を満たす。可積分関数のフーリエ変換は f ^ ( ξ ) → 0 as | ξ | → ∞ {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty } であることを述べたリーマン・ルベーグの補題をも満足する。可積分函数 f のフーリエ変換 ^f は有界連続だが可積分であるとは限らず、その逆変換をルベーグ積分として書くことは一般にはできない。しかしながら、ƒ および ^f がともに可積分ならば、反転公式 f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ^ ( ξ ) e 2 i π x ξ d ξ {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{2i\pi x\xi }\,d\xi } が殆ど全ての x において成り立つ。つまり、ƒ は右辺で定義される連続関数と殆ど至る所等しい。特に ƒ が実数直線上の連続関数として与えられたならば全ての x において等式が成り立つ。 前述の結果としてわかることは、フーリエ変換が L1(R) 上単射であることである。
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