一様重力のもとでの非圧縮非粘性定常流の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/12 10:23 UTC 版)
「ベルヌーイの定理」の記事における「一様重力のもとでの非圧縮非粘性定常流の場合」の解説
非圧縮性バロトロピック流体では密度一定だから ∫ d p / ρ = p / ρ + c o n s t a n t {\textstyle \int dp/\rho =p/\rho +\mathrm {constant} } とでき、一様重力のポテンシャルは Ω = g z {\displaystyle \Omega =gz} となるので、（I）の基本形から以下の定理が導かれる。 一様重力のもとでの非粘性・非圧縮流体の定常な流れでは、流線上で v 2 2 + p ρ + g z = c o n s t a n t {\displaystyle {v^{2} \over 2}+{p \over \rho }+gz=\mathrm {constant} } が、成り立つ（ v {\displaystyle v} は速さ、 p {\displaystyle p} は圧力、 ρ {\displaystyle \rho } は密度、 g {\displaystyle g} は重力加速度の大きさ、 z {\displaystyle z} は鉛直方向の座標である）。 エネルギー保存則に基づいた導出 非粘性・非圧縮性・定常流におけるベルヌーイの定理は、体積の保存則(質量保存則)、および、仕事とエネルギーの関係(エネルギー保存則)から導くことができる。初期に断面A1とA2に挟まれた流体に着目する。断面A1から流入した流体粒子は時間Δt の間に、s1=v1Δt だけ移動し、断面A2から流出した流体粒子はs2=v2Δt だけ移動する。 (1)体積の保存。断面 A1 から流入した体積と断面 A2 から流出した体積はそれぞれ A1s1 と A2s2 となり、定常な非圧縮性流体を考えているので、 A 1 s 1 = A 2 s 2 ( = Δ V ) {\displaystyle A_{1}s_{1}=A_{2}s_{2}(=\Delta V)} が成り立つ。 (2) 系の力学的エネルギーの増分は系になされた仕事に等しい。 (2-1) 接触力(圧力由来)は、断面 A1 では正の向きに、断面 A2 では負の向きに、挟まれた流体に対して仕事をするので、 W = ( p 1 A 1 ) s 1 − ( p 2 A 2 ) s 2 = Δ V ( p 1 − p 2 ) {\displaystyle W=(p_{1}A_{1})s_{1}-(p_{2}A_{2})s_{2}=\Delta V(p_{1}-p_{2})} (2-2) 重力の位置エネルギー U の変化は、高さ z1 にある質量 ρΔV の流体が、高さ z2 に移動したと考えれば、 Δ U = ρ Δ V ( g z 2 − g z 1 ) {\displaystyle \Delta U=\rho \Delta V\,(gz_{2}-gz_{1})} (2-3) そして、運動エネルギー K の変化は、速度 v1 である質量 ρΔV の流体が、速度 v2 になると考えれば、 Δ K = ρ Δ V ( v 2 2 2 − v 1 2 2 ) {\displaystyle \Delta K=\rho \Delta V\left({v_{2}^{2} \over 2}-{v_{1}^{2} \over 2}\right)} (2-4) エネルギー保存則 Δ K + Δ U = W {\displaystyle \Delta K+\Delta U=W} より、 ρ Δ V ( v 2 2 2 − v 1 2 2 ) + ρ Δ V ( g z 2 − g z 1 ) = ρ Δ V ( p 1 ρ − p 2 ρ ) ∴ v 2 2 2 + p 2 ρ + g z 2 = v 1 2 2 + p 1 ρ + g z 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&\rho \Delta V\left({v_{2}^{2} \over 2}-{v_{1}^{2} \over 2}\right)+\rho \Delta V\,(gz_{2}-gz_{1})=\rho \Delta V\left({p_{1} \over \rho }-{p_{2} \over \rho }\right)\\\therefore ~&{v_{2}^{2} \over 2}+{p_{2} \over \rho }+gz_{2}={v_{1}^{2} \over 2}+{p_{1} \over \rho }+gz_{1}\end{aligned}}} が得られる。 (3) これは流管内の任意の断面で成り立つものであり、断面積を小さくとると流線上の任意の点で成り立つと考えてよい。 これより、流線上で v 2 2 + p ρ + g z = c o n s t a t n t {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}+gz=\mathrm {constatnt} } が成り立つことが導けた。
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