一様連続性の擬距離による特徴づけ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/22 02:34 UTC 版)
「一様空間」の記事における「一様連続性の擬距離による特徴づけ」の解説
一様連続性を擬距離の集合を使う事で特徴づける事もできる。この特徴づけにより、上述の一様連続性の定義は義距離空間における一様連続性の定義の自然な一般化になっている事が確認できる。 定理 (一様連続性の特徴づけ) ― X、Yを集合とし、D、EをそれぞれX、Y上で定義された擬距離の集合とし、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 、 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} をそれぞれD、EがX、Y上に定める一様構造とする。 このとき写像 f : X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y} に対して以下は同値である： f : ( X , U ) → ( Y , V ) {\displaystyle f~:~(X,{\mathcal {U}})\to (Y,{\mathcal {V}})} は一様連続 X × X上の任意のネット ( x λ , x λ ′ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda },x'_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} に対し、 D ( x λ , x λ ′ ) → 0 ⇒ E ( f ( x λ ) , f ( x λ ′ ) ) → 0 {\displaystyle D(x_{\lambda },x'_{\lambda })\to 0\Rightarrow E(f(x_{\lambda }),f(x'_{\lambda }))\to 0} 任意のε>0と任意の e ∈ E {\displaystyle e\in E} に対し、あるδ>0とある有限部分集合 D ′ ⊂ D {\displaystyle D'\subset D} が存在し、全てのx1, x2∈Xに対し、 max d ∈ D ′ d ( x 1 , x 2 ) < δ ⇒ e ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) < ϵ {\displaystyle \max _{d\in D'}d(x_{1},x_{2})<\delta \Rightarrow e(f(x_{1}),f(x_{2}))<\epsilon } 任意のe∈Eに対し、ある有限部分集合D'⊂Dとμ(0)=0を満たすある単調増加な連続写像 μ : R ≥ 0 → R ≥ 0 {\displaystyle \mu ~:~\mathbb {R} _{\geq 0}\to \mathbb {R} _{\geq 0}} が存在し、全てのx1, x2∈Xに対し、 e ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) ≤ μ ( max d ∈ D ′ d ( x 1 , x 2 ) ) {\displaystyle e(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq \mu (\max _{d\in D'}d(x_{1},x_{2}))}
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