一様空間の生成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/22 02:34 UTC 版)
一様空間の具体例を出す前準備として、本節では一様空間の生成の概念とそれに関連する概念を定義する。これらの概念は位相空間の場合と同様に定義できる。 定義 ― Xを集合とし S {\displaystyle {\mathcal {S}}} をXの部分集合族とする。もし S {\displaystyle {\mathcal {S}}} を含む一様構造の中で包含関係に関して最小なもの U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が存在すれば、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} が U {\displaystyle {\mathcal {U}}} を生成する（英: generate）という。 ここで「最小」とは包含関係を大小関係とみたときの最小を意味する。なお「最小のものが存在すれば」と断っているのは、位相空間の場合とは異なり、Xと S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の選び方によっては S ⊂ U {\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {U}}} となる最小の一様構造が存在しない場合があるからである。しかし S {\displaystyle {\mathcal {S}}} が前一様構造であればこうした問題は起こらない： 定理 ― S {\displaystyle {\mathcal {S}}} が前一様構造であれば、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} を含む最小の U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が必ず存在する。具体的には以下の通りである： U = { U ⊂ X × X ∣ {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U\subset X\times X\mid } 有限個の S 1 , … , S n ⊂ S {\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}\subset {\mathcal {S}}} が存在し、 ∩ i S i ⊂ U } {\displaystyle \cap _{i}S_{i}\subset U\}} 前一様構造は以下の定理を満たす： 定理 ― 集合Xから一様空間 ( Y , U ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})} への写像 f : X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y} に対し、 f ∗ : ( x 1 , x 2 ) ∈ X 2 ↦ ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) ∈ Y 2 {\displaystyle f_{*}~:~(x_{1},x_{2})\in X^{2}\mapsto (f(x_{1}),f(x_{2}))\in Y^{2}} と定義するとき、 f ∗ − 1 ( V ) {\displaystyle f_{*}{}^{-1}({\mathcal {V}})} は前一様構造である。さらに f ∗ − 1 ( V ) {\displaystyle f_{*}{}^{-1}({\mathcal {V}})} を含む最小の一様構造は、fを一様連続にする最小の一様構造と一致する。 （有限個または無限個）の前一様構造の族 ( S λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle ({\mathcal {S}}_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} の和集合 ⋃ λ ∈ Λ S λ {\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda }{\mathcal {S}}_{\lambda }} は前一様構造である 以上の事実の系として次が従う： 系 ― Xを集合 ( Y , U ) λ ∈ Λ {\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})_{\lambda \in \Lambda }} を一様空間の族とし、各λ∈Λに対し f λ : X → Y λ {\displaystyle f_{\lambda }~:~X\to Y_{\lambda }} を写像とする。 このとき全てのλ∈Λに対して f λ {\displaystyle f_{\lambda }} を一様連続とするX上の最小の一様構造が存在する。 上の系の特殊な場合として以下の一様構造を定義できる： 定義 ― Yを一様空間 ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} の部分集合とするとき、包含写像 Y ↪ X {\displaystyle Y\hookrightarrow X} を一様連続にする最小の一様構造をY上の相対一様構造（英: relative uniformity、英: relativization）という。 一様空間の族 ( X λ , U λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (X_{\lambda },{\mathcal {U}}_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} に対し、これらの（集合としての）直積から各成分への射影 π τ : ∏ λ ∈ Λ X λ → X τ {\displaystyle \pi _{\tau }~:~\prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\to X_{\tau }} を全て一様連続にする最小の一様構造を ∏ λ ∈ Λ X λ {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }} の直積一様構造（英: product uniformity）という。
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