一様構造を定める擬距離の集合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/22 02:34 UTC 版)
「一様空間」の記事における「一様構造を定める擬距離の集合」の解説
任意の一様構造は必ず擬距離の集合から定まる： 定理 (一様構造は必ず擬距離の集合から定まる) ― Xを集合とし、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} をX上の任意の一様構造とする。このとき d : X × X → R {\displaystyle d~:~X\times X\to \mathbb {R} } が一様連続となるX上の擬距離dの集合を D U {\displaystyle D_{\mathcal {U}}} とすると、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} は D U {\displaystyle D_{\mathcal {U}}} によって定まるX上の一様構造と一致する。 なお同様の事はが準一様構造についても成り立つ。すなわち集合X上の任意の準一様構造 Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} に対し、準擬距離（英: quasi-pseudometric）の集合Dが存在し、 Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} はDから定まる準一様構造に一致する。 上述の定理の系として、以下の事実も従う： 系 ― 任意の一様空間は擬距離空間から定まる一様空間の直積の部分集合と一様同型である。 与えられた擬距離が D U {\displaystyle D_{\mathcal {U}}} に属するか否かは以下のように判別できる： 定理 (擬距離と一様構造の両立条件) ― 一様空間 ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} 上の擬距離 d : X × X → R {\displaystyle d~:~X\times X\to \mathbb {R} } が一様連続になる必要十分条件は、任意のr > 0に対し U d , r := { ( x , y ) ∈ X × Y ∣ d ( x , y ) < r } {\displaystyle U_{d,r}:=\{(x,y)\in X\times Y\mid d(x,y)<r\}} が U {\displaystyle {\mathcal {U}}} の元になる事である。
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