一様空間

索引トップ用語の索引ランキングカテゴリー

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/02 03:01 UTC 版)

完備性と完備化

本節ではまず、位相空間における点列概念の２つの一般化であるネットとフィルターに対し、コーシー列の概念の一般化であるコーシーネットの概念とコーシーフィルターの概念を定義し、これらをベースにして一様空間の完備性を定義し、最後の一様空間の完備化を扱う。

コーシーネット・コーシーフィルター

定理・定義 (コーシーネット) ― $(X,{\mathcal {U}})$ を一様空間とし、 $D$ を $X$ 上の擬距離の集合で $D$ が定める一様構造が ${\mathcal {U}}$ と一致するものとし、さらに $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ を $X$ 上のネットとする。このとき以下の条件は全て同値であり、以下の条件の少なくとも一つ（したがって全て）を満たすとき、ネット $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ はコーシーネットであるという^[41]：

任意の近縁 $U\in {\mathcal {U}}$ に対し、ある $λ 0 \in Λ$ が存在し、 $\lambda ,\tau \geq \lambda _{0}$ を満たす全ての $λ, τ \in Λ$ に対し、 $(x_{\lambda },x_{\tau })\in U$
任意の近縁 $U\in {\mathcal {U}}$ に対し、ある $λ 0 \in Λ$ が存在し、 $\lambda \geq \lambda _{0}$ を満たす全ての $λ \in Λ$ に対し、 $x_{\lambda }\in U[x_{\lambda _{0}}]$
任意の $d \in D$ と任意の $ε >0$ に対し、ある $λ 0 \in Λ$ が存在し、 $\lambda ,\tau \geq \lambda _{0}$ を満たす全ての $λ, τ \in Λ$ に対し、 $d(x_{\lambda },x_{\tau })<\varepsilon$

定理・定義 (コーシーフィルター) ― $(X,{\mathcal {U}})$ を一様空間とし、 $D$ を $X$ 上の擬距離の集合で $D$ が定める一様構造が ${\mathcal {U}}$ と一致するものとし、さらに ${\mathcal {F}}$ を $X$ 上のフィルターとする。このとき以下の２条件は同値であり、以下の条件の少なくとも一つ（したがって両方）を満たすとき、フィルター ${\mathcal {F}}$ はコーシーフィルターであるという^[41]：

任意の近縁 $U\in {\mathcal {U}}$ に対し、ある $F\in {\mathcal {F}}$ が存在し、 $F\times F\subset U$
任意の $d \in D$ と任意の $ε >0$ に対し、ある $F\in {\mathcal {F}}$ が存在し、 $\sup _{x,y\in F}d(x,y)<\varepsilon$

完備性

定理・定義 (一様空間の完備性) ― 一様空間 $(X,{\mathcal {U}})$ に対し以下の２条件は同値である。 $(X,{\mathcal {U}})$ が以下の条件の少なくとも一方（したがって両方）を満たすとき、 $(X,{\mathcal {U}})$ は完備であるという。

$X$ 上の任意のコーシーネットは少なくとも１つ極限を持つ
$X$ 上の任意のコーシーフィルターは少なくとも１つ極限を持つ

ここで収束は ${\mathcal {U}}$ が定める位相における収束である。

上で「少なくとも１つ極限を持つ」という言い方をしているのは、 ${\mathcal {U}}$ が定める位相構造がハウスドルフでない限り、ネットやフィルターの収束の一意性は保証されないからである。なお擬距離空間においては完備性は「コーシー列（＝点列でコーシーなもの）は少なくとも１つ極限を持つ」という事と同値であるが^[42]、一般の一様空間の場合は必ずしも同値ではない^[42]。

定理・定義 (一様空間の完備化) ― $(X,{\mathcal {U}})$ を一様空間とする。このとき完備な一様空間 $({\bar {X}},{\bar {\mathcal {U}}})$ と単射 $\iota ~:~X\to {\bar {X}}$ が存在し、単射 $\iota$ により $X$ を ${\bar {X}}$ の部分集合とみなすと、 ${\mathcal {U}}$ が ${\bar {\mathcal {U}}}$ の部分一様構造になっているものが存在する^[43]。この ${\bar {X}}$ （と $\iota$ の組）を $X$ の完備化（英: completion）という。

さらに ${\bar {D}}$ を ${\bar {X}}$ 上の擬距離の集合で ${\bar {D}}$ が定める一様構造が ${\bar {\mathcal {U}}}$ と一致するものとするとし、 $D$ を ${\bar {D}}$ に属する擬距離を $X$ に制限したものの集合とするとき、 $D$ の定める一様構造は ${\mathcal {U}}$ に一致する^[43]。

上記の定理の条件を満たす ${\bar {X}}$ は必ずしも一意ではない^{[注 6]}。しかし $X$ が定める位相がハウスドルフであれば一意である事が保証される^[43]。

コーシー連続性

定理・定義 (コーシー連続性) ― $f~:~X\to Y$ を一様空間 $X$ から一様空間 $Y$ への写像とするとき、以下の２条件は同値である。以下の２条件の少なくとも１つ（したがって両方）を満たすとき、 $f$ はコーシー連続（英: Cauchy continuous）であるという^[44]：

$X$ 上の任意のコーシーネット $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ の $f$ による像は $(f(x_{\lambda }))_{\lambda \in \Lambda }$ はコーシーネットである。
$X$ 上の任意のコーシーフィルター ${\mathcal {F}}$ の $f$ による像は $f({\mathcal {F}})$ はコーシーフィルターである。

定理 ― $f~:~X\to Y$ を一様空間 $X$ から一様空間 $Y$ への写像とするとき、以下が成立する：

$f$ は一様連続⇒ $f$ はコーシー連続⇒ $f$ は連続^[45]
$X$ が完備であれば $f$ のコーシー連続性と $f$ は連続性は同値である^[45]。
$X$ を（完備とは限らない）一様空間とし、 ${\bar {X}}$ をその完備化とし、 $Y$ を完備な一様空間とし、さらに $f~:~X\to Y$ をコーシー連続な関数とすると、連続関数 ${\bar {f}}~:~{\bar {X}}\to Y$ で ${\bar {f}}\mid _{X}=f$ となるものが存在する^[45]。

脚注

出典

^ ^a ^b ^c ^d “固有な作用の一様連続性について”. pp. 5-6. 2021年4月7日閲覧。
^ ^a ^b #Kelly p.176.
^ #EoM
^ ^a ^b #Schechter p.118.
^ #Kelly p.176.
^ #Schechter p.118.
^ Hans-Peter A.Künzi. “e-9 - Quasi-Uniform Spaces”. Encyclopedia of General Topology. 2021年4月7日閲覧。
^ #Subrata p.8
^ ^a ^b #Peter p.2.
^ #Kelly p.178.
^ ^a ^b #Schechter p.442.
^ ^a ^b ^c ^d ^e #Kelly pp.180-181.
^ #Kelly p.181.
^ ^a ^b ^c ^d ^e #Schechter p.121.
^ Schechter p.122.
^ #Schechter pp.218-219.
^ ^a ^b #Kelly p.182.
^ ^a ^b #Borchers-Sen pp.159-161
^ ^a ^b ^c #Hart pp.259.
^ ^a ^b ^c ^d ^e #Kelly pp.210-211.
^ #Hart p.259.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Schechter p.120.
^ #Schechter pp.120, 503.
^ ^a ^b #Schechter p.119.
^ #Kelly p.187
^ #Kelly pp.186-187.
^ ^a ^b ^c #Schechter p.42.
^ Kelly pp.188-189.
^ ^a ^b #Kelly p.188
^ #Peter pp.4, 6.
^ #Kelly p.188
^ #Schechter p.484.
^ ^a ^b #Schechter p.486.
^ ^a ^b #Schechter p.487.
^ ^a ^b #Kelly p.186
^ ^a ^b #Kelly p.204.
^ #Schechter p.487.
^ #Schechter p.488.
^ #Schechter pp.484-485.
^ ^a ^b #Schechter p.705
^ ^a ^b #Schechter p.499.
^ ^a ^b #Schechter p.502.
^ ^a ^b ^c #Schechter p.515
^ #Schechter p.511
^ ^a ^b ^c #Schechter p.511
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f #Kelly p.225-229.
^ ^a ^b #Schechter pp.491-493.
^ #Kelly pp.229-231.
^ #Kelly pp.231-234
^ ^a ^b #Schechter p.494.
^ ^a ^b #Schechter p.497.
^ ^a ^b #Schechter p.490.
^ #Kelly p.198.
^ #Schechter pp.505-506.

注釈

^ 関数解析では一様収束の位相を一様位相と呼ぶことがあるので注意。
^ 離散一様構造があるので、 ${\mathcal {S}}$ を含む一様構造は少なくとも１つ必ず存在する。しかし ${\mathcal {S}}$ を含む一様構造の中で最小のものが存在するとは限らない。
^ ^a ^b Kellyは一様構造の基底、準基底という概念を定義しているが、これらはいずれも前一様構造とは別概念である。参考までに基底、準基底の定義を載せると以下の通りである： $(X,{\mathcal {U}})$ を一様空間とする。このとき ${\mathcal {U}}$ の部分集合 ${\mathcal {B}}$ が ${\mathcal {U}}$ の基底^{[訳語疑問点]}（英: base）であるとは、任意の $U\in {\mathcal {U}}$ に対し、 $B\subset U$ となる $B\in {\mathcal {B}}$ が存在する事をいう^[1]。また ${\mathcal {U}}$ の部分集合 ${\mathcal {S}}$ が ${\mathcal {U}}$ の準基底^{[訳語疑問点]}（英: subbase）であるとは、 ${\mathcal {S}}$ の有限個の元の共通部分全体の集合が ${\mathcal {U}}$ の基底になっている事をいう^[1]。
^ 前一様構造である事は保証されるものの、一般には一様構造になると事は保証されない^[12]。
^ すなわち ${\mathcal {B}}$ が可算集合であり、しかも#Kelly p.177の意味で ${\mathcal {U}}$ の基底(英: base)^{[注 3]}になっているという事。
^ 例えば $(X,d)$ を完備な擬距離空間とし、 $u 0 \in X$ を任意の点とし、さらに $u 1$ を $X$ に属さない任意の点とするとき、 ${\bar {X}}:=X\cup \{u_{1}\}$ とし、 ${\bar {X}}$ 上の距離 ${\bar {d}}$ を ${\bar {d}}(x,y):={\begin{cases}d(u_{0},y)&{\text{if }}x=u_{1}\\d(x,u_{0})&{\text{if }}y=u_{1}\\d(x,y)&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ とする（すなわち ${\bar {d}}(u_{0},u_{1}):=0$ 、 ${\bar {d}}(x,u_{1}):={\bar {d}}(x,u_{0})$ と定義し、それ以外は ${\bar {d}}(x,y):=d(x,y)$ ）と定義する）と、 ${\bar {X}}$ も完備となる。よって $X$ の完備化は $X$ 自身と ${\bar {X}}$ とで２つあることになる。