一様空間

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/02 03:01 UTC 版)

一様収束性

本節では集合 $X$ から一様空間 $(Y,{\mathcal {U}})$ への写像全体の集合 $F (X, Y)$ に一様構造が入る事を見る。この一様構造が $F (X, Y)$ に定める位相におけるネットの収束をネットの一様収束という。本節では一様収束のいくつかの関連概念をまとめて扱うため、 $X$ の部分集合の集合 ${\mathcal {S}}$ を考え、「 ${\mathcal {S}}$ の元に関する一様収束」という概念を導入する。具体的には ${\mathcal {S}}$ として以下の３種類を考える：

${\mathcal {S}}=\{X\}$
${\mathcal {S}}=\{X$ の一点集合 $\}$
${\mathcal {S}}=\{X$ のコンパクトな部分集合 $\}$

最後のものに関しては $X$ に位相構造が入っている事を仮定している。通常の一様収束は最初のものであり、２番目は各点収束、３番目はコンパクト収束である。

定義・定理 (一様収束性(の一様構造、位相構造)) ― $X$ を集合とし、 ${\mathcal {S}}$ を $X$ の部分集合の集合とし、 $(Y,{\mathcal {U}})$ を一様空間とし、 $D$ を ${\mathcal {U}}$ を定める擬距離の集合とする。さらに $F (X, Y)$ を $X$ から $Y$ への写像全体の集合とする。

さらに $S\in {\mathcal {S}}$ 、 $U\in {\mathcal {U}}$ に対し、

W(U,S):=\{(f,g)\in F(X,Y)^{2}\mid \forall x\in S~:~(f(x),g(x))\in U\}

とする。このとき

\{W(U,S)\mid S\in {\mathcal {S}},U\in {\mathcal {U}}\}

が生成する $F (X, Y)$ 上の一様構造を ${\mathcal {S}}$ の元に関する一様収束の一様構造（英: uniformity of uniform convergence on members of ${\mathcal {S}}$ ）といい、この一様構造が $F (X, Y)$ に定める位相を ${\mathcal {S}}$ の元に関する一様収束の位相構造（英: topology of uniform convergence on members of ${\mathcal {S}}$ ）といい、さらにこの位相におけるネットの収束を ${\mathcal {S}}$ の元に関する一様収束（英: uniform convergence on members of ${\mathcal {S}}$ ）という^[46]^[47]。

特に、 ${\mathcal {S}}$ の元に関する一様収束（の一様構造、位相構造）において、

${\mathcal {S}}=\{X\}$ のとき、単に一様収束（の一様構造、位相構造）という。
${\mathcal {S}}=\{X$ の一点集合 $\}$ のとき、各点収束（の一様構造、位相構造）という。
${\mathcal {S}}=\{X$ のコンパクトな部分集合 $\}$ のときコンパクト収束（の一様構造、位相構造）という。

${\mathcal {S}}$ の元に関する一様収束の一様構造は以下のように擬距離により特徴づける事が可能である。よって特に擬距離空間においては我々の考えている一様収束音概念が通常の一様収束の概念と一致する事がわかる：

定理 (擬距離の集合による一様収束性の一様構造の特徴づけ) ― $X$ を集合とし、 ${\mathcal {S}}$ を $X$ の部分集合の集合とし、 $(Y,{\mathcal {U}})$ を一様空間とし、 $D$ を ${\mathcal {U}}$ を定める擬距離の集合とする。

$S\in {\mathcal {S}}$ 、 $d\in D$ に対し、 $F (X, Y)$ 上の擬距離 $d *$ を

d_{*}(f,g):=\sup _{x\in S}d(f(x),g(x))

により定義する。このとき、擬距離の集合

\{d_{*}\mid d\in D\}

により $F (X, Y)$ 上に定まる一様構造は ${\mathcal {S}}$ の元に関する一様収束の一様構造は以下の一様構造と一致する^[46]^[47]。

コンパクト収束に関しては以下が成立する：

定理 ― コンパクト収束の位相構造はコンパクト開位相と一致する^[48]。

一様収束の一様構造は以下の性質を満たす：

定理 ― 　

任意の ${\mathcal {S}}$ に対し、 $(Y,{\mathcal {U}})$ が完備であれば、 $F (X, Y)$ 上の ${\mathcal {S}}$ の元に関する一様収束の一様構造は完備である^[46]。
$X$ が位相空間の場合、 $X$ から $Y$ への連続写像全体の集合 $C (X, Y)$ は $F (X, Y)$ の閉集合である^[46]。よって特に $(Y,{\mathcal {U}})$ が完備であれば、 ${\mathcal {S}}$ の元に関する一様収束の一様構造は完備である^[46]。
ネット $(f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ が ${\mathcal {S}}$ の元に関して $f$ に一様収束する必要十分条件は、 $(f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ が ${\mathcal {S}}$ の元に関して $f$ にコーシー収束し、しかも $(f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ が $f$ に各点収束する事である^[46]。

脚注

出典

^ ^a ^b ^c ^d “固有な作用の一様連続性について”. pp. 5-6. 2021年4月7日閲覧。
^ ^a ^b #Kelly p.176.
^ #EoM
^ ^a ^b #Schechter p.118.
^ #Kelly p.176.
^ #Schechter p.118.
^ Hans-Peter A.Künzi. “e-9 - Quasi-Uniform Spaces”. Encyclopedia of General Topology. 2021年4月7日閲覧。
^ #Subrata p.8
^ ^a ^b #Peter p.2.
^ #Kelly p.178.
^ ^a ^b #Schechter p.442.
^ ^a ^b ^c ^d ^e #Kelly pp.180-181.
^ #Kelly p.181.
^ ^a ^b ^c ^d ^e #Schechter p.121.
^ Schechter p.122.
^ #Schechter pp.218-219.
^ ^a ^b #Kelly p.182.
^ ^a ^b #Borchers-Sen pp.159-161
^ ^a ^b ^c #Hart pp.259.
^ ^a ^b ^c ^d ^e #Kelly pp.210-211.
^ #Hart p.259.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Schechter p.120.
^ #Schechter pp.120, 503.
^ ^a ^b #Schechter p.119.
^ #Kelly p.187
^ #Kelly pp.186-187.
^ ^a ^b ^c #Schechter p.42.
^ Kelly pp.188-189.
^ ^a ^b #Kelly p.188
^ #Peter pp.4, 6.
^ #Kelly p.188
^ #Schechter p.484.
^ ^a ^b #Schechter p.486.
^ ^a ^b #Schechter p.487.
^ ^a ^b #Kelly p.186
^ ^a ^b #Kelly p.204.
^ #Schechter p.487.
^ #Schechter p.488.
^ #Schechter pp.484-485.
^ ^a ^b #Schechter p.705
^ ^a ^b #Schechter p.499.
^ ^a ^b #Schechter p.502.
^ ^a ^b ^c #Schechter p.515
^ #Schechter p.511
^ ^a ^b ^c #Schechter p.511
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f #Kelly p.225-229.
^ ^a ^b #Schechter pp.491-493.
^ #Kelly pp.229-231.
^ #Kelly pp.231-234
^ ^a ^b #Schechter p.494.
^ ^a ^b #Schechter p.497.
^ ^a ^b #Schechter p.490.
^ #Kelly p.198.
^ #Schechter pp.505-506.

注釈

^ 関数解析では一様収束の位相を一様位相と呼ぶことがあるので注意。
^ 離散一様構造があるので、 ${\mathcal {S}}$ を含む一様構造は少なくとも１つ必ず存在する。しかし ${\mathcal {S}}$ を含む一様構造の中で最小のものが存在するとは限らない。
^ ^a ^b Kellyは一様構造の基底、準基底という概念を定義しているが、これらはいずれも前一様構造とは別概念である。参考までに基底、準基底の定義を載せると以下の通りである： $(X,{\mathcal {U}})$ を一様空間とする。このとき ${\mathcal {U}}$ の部分集合 ${\mathcal {B}}$ が ${\mathcal {U}}$ の基底^{[訳語疑問点]}（英: base）であるとは、任意の $U\in {\mathcal {U}}$ に対し、 $B\subset U$ となる $B\in {\mathcal {B}}$ が存在する事をいう^[1]。また ${\mathcal {U}}$ の部分集合 ${\mathcal {S}}$ が ${\mathcal {U}}$ の準基底^{[訳語疑問点]}（英: subbase）であるとは、 ${\mathcal {S}}$ の有限個の元の共通部分全体の集合が ${\mathcal {U}}$ の基底になっている事をいう^[1]。
^ 前一様構造である事は保証されるものの、一般には一様構造になると事は保証されない^[12]。
^ すなわち ${\mathcal {B}}$ が可算集合であり、しかも#Kelly p.177の意味で ${\mathcal {U}}$ の基底(英: base)^{[注 3]}になっているという事。
^ 例えば $(X,d)$ を完備な擬距離空間とし、 $u 0 \in X$ を任意の点とし、さらに $u 1$ を $X$ に属さない任意の点とするとき、 ${\bar {X}}:=X\cup \{u_{1}\}$ とし、 ${\bar {X}}$ 上の距離 ${\bar {d}}$ を ${\bar {d}}(x,y):={\begin{cases}d(u_{0},y)&{\text{if }}x=u_{1}\\d(x,u_{0})&{\text{if }}y=u_{1}\\d(x,y)&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ とする（すなわち ${\bar {d}}(u_{0},u_{1}):=0$ 、 ${\bar {d}}(x,u_{1}):={\bar {d}}(x,u_{0})$ と定義し、それ以外は ${\bar {d}}(x,y):=d(x,y)$ ）と定義する）と、 ${\bar {X}}$ も完備となる。よって $X$ の完備化は $X$ 自身と ${\bar {X}}$ とで２つあることになる。