コーシー連続性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/22 02:34 UTC 版)
定理・定義 (コーシー連続性) ― f : X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y} を一様空間Xから一様空間Yへの写像とするとき、以下の２条件は同値である。以下の２条件の少なくとも１つ（したがって両方）を満たすとき、fはコーシー連続（英: Cauchy continuous）であるという： X上の任意のコーシーネット ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} のfによる像は ( f ( x λ ) ) λ ∈ Λ {\displaystyle (f(x_{\lambda }))_{\lambda \in \Lambda }} はコーシーネットである。 X上の任意のコーシーフィルター F {\displaystyle {\mathcal {F}}} のfによる像は f ( F ) {\displaystyle f({\mathcal {F}})} はコーシーフィルターである。 定理 ― f : X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y} を一様空間Xから一様空間Yへの写像とするとき、以下が成立する： fは一様連続⇒fはコーシー連続⇒fは連続 Xが完備であればfのコーシー連続性とfは連続性は同値である。 Xを（完備とは限らない）一様空間とし、 X ¯ {\displaystyle {\bar {X}}} をその完備化とし、Yを完備な一様空間とし、さらに f : X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y} をコーシー連続な関数とすると、連続関数 f ¯ : X ¯ → Y {\displaystyle {\bar {f}}~:~{\bar {X}}\to Y} で f ¯ ∣ X = f {\displaystyle {\bar {f}}\mid _{X}=f} となるものが存在する。
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