シャッテンノルム
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数学の、特に関数解析学の分野におけるシャッテンノルム（英: Schatten norm）あるいはシャッテン＝フォン・ノイマンノルムとは、トレースクラスノルムやヒルベルト＝シュミットノルムと同様に、p-可積分性の一般化として考え出されたノルムである。ロバート・シャッテンの名にちなむ。
- 1 シャッテンノルムとは
- 2 シャッテンノルムの概要
- 3 定義
- 4 性質
- 5 関連項目
シャッテンノルム
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/14 05:30 UTC 版)
詳細は「シャッテンノルム」を参照 シャッテンノルム (Schatten norm) は行列の特異値を並べたベクトルに対するノルムとして得られる。ベクトルノルムに p ノルムを用いるものをシャッテン p ノルムと呼ぶ。行列 A のシャッテン p-ノルムは、A の特異値を σi で表せば、以下のように定義される。 ‖ A ‖ p = ( ∑ i = 1 min { m , n } σ i p ) 1 / p {\displaystyle \|A\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\!\!\!\!\sigma _{i}^{p}\right)^{\!\!1/p}} シャッテンノルムはいずれの p に対しても劣乗法的である。また、任意の行列 A のユニタリ変換に対してシャッテンノルムは不変であり、任意のユニタリ行列 U, V 対して ‖ UAV ‖ = ‖ A ‖ が成り立つ。 p = 1, 2, ∞ の場合がよく知られており、p = 2 の場合はフロベニウスノルムが得られる。p = ∞ はスペクトルノルム、すなわちベクトルの 2 ノルムから誘導される行列ノルムである。
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