最大値と最小値
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:33 UTC 版)
n が大きくなるにつれ、Bn(x) の x = 0 と x = 1 の間での変動量は大きくなる。例えば B 16 ( x ) = x 16 − 8 x 15 + 20 x 14 − 182 3 x 12 + 572 3 x 10 − 429 x 8 + 1820 3 x 6 − 1382 3 x 4 + 140 x 2 − 3617 510 {\displaystyle B_{16}(x)=x^{16}-8x^{15}+20x^{14}-{\frac {182}{3}}x^{12}+{\frac {572}{3}}x^{10}-429x^{8}+{\frac {1820}{3}}x^{6}-{\frac {1382}{3}}x^{4}+140x^{2}-{\frac {3617}{510}}} は x = 0 における値が（x = 1 における値も）−3617/510 ≈ −7.09 である一方、x = 1/2 における値は 118518239/3342336 ≈ +7.09 である。 デリック・ヘンリー・レーマー（英語版）は Bn(x) の 0 と 1 の間での最大値が n が法 4 に関して 2 でない限り M n < 2 n ! ( 2 π ) n {\displaystyle M_{n}<{\frac {2n!}{(2\pi )^{n}}}} を満たすことを示した。n が法 4 に関して 2 であるときは、 M n = 2 ζ ( n ) n ! ( 2 π ) n {\displaystyle M_{n}={\frac {2\zeta (n)n!}{(2\pi )^{n}}}} （ここで ζ ( x ) {\displaystyle \zeta (x)} はリーマンゼータ関数）となる。一方で、最小値は n が法 4 に関して 0 でない限り m n > − 2 n ! ( 2 π ) n {\displaystyle m_{n}>{\frac {-2n!}{(2\pi )^{n}}}} を満たす。n が法 4 に関して 0 であるときは、 m n = − 2 ζ ( n ) n ! ( 2 π ) n {\displaystyle m_{n}={\frac {-2\zeta (n)n!}{(2\pi )^{n}}}} である。これらの評価は実際の最大値・最小値に極めて近く、またレーマーはより精緻な評価も与えている。
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