ローゼンバーグによる反転公式の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/26 00:41 UTC 版)
「球函数に対するプランシュレルの定理」の記事における「ローゼンバーグによる反転公式の証明」の解説
Rosenberg (1977) は、先の証明を大いに簡略化する技法によって、ペイリー-ウィーナーの定理と球反転定理が同時に証明されることを注意している。 ローゼンバーグの証明の第一段階は、ハリッシュ＝チャンドラ c-函数を用いて定義される逆変換が、ペイリー-ウィーナーの評価を満足するとき、原点中心の半径 R の閉球体の中に台を持つ函数を定めることを、直截に示すことからなる。これにより、逆変換を定義する非積分函数が a ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}} の複素化上の有理型函数に延長できるから、積分を a + ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}^{*}} の元 μ と t > 0 に対する a ∗ + i μ t {\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}+i\mu t} にシフトすることができる。ハリッシュ＝チャンドラによる φλ の展開とガンマ函数を用いた c(λ) の公式を用いると、積分を十分大きな t で抑えることができて、従って原点中心・半径 R の閉球体の外側で積分が消えることが示せる。 この部分で、ペイリー-ウィーナーの定理からは T ( f ) = ∫ a + ∗ f ~ ( λ ) | c ( λ ) | − 2 d λ {\displaystyle T(f)=\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {f}}(\lambda )|c(\lambda )|^{-2}\,d\lambda } が原点 o に台を持つ G/K 上のシュヴァルツ超函数を定めることがわかる。積分のさらなる評価によって、実はこれが測度によって与えられること、またそれにより定数 C で T ( f ) = C f ( o ) {\displaystyle T(f)=Cf(o)} を満たすものが存在することが示される。この結果を f 1 ( g ) = ∫ K f ( x − 1 k g ) d k {\displaystyle f_{1}(g)=\int _{K}f(x^{-1}kg)\,dk} に適用すれば、 C f = ∫ a + ∗ f ~ ( λ ) φ λ | c ( λ ) | − 2 d λ {\displaystyle Cf=\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {f}}(\lambda )\varphi _{\lambda }|c(\lambda )|^{-2}\,d\lambda } が従う。さらに適当な拡大縮小を施すことにより、評価不等式における C を 1 としてよいことが、 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 上のペイリー-ウィーナーの定理およびプランシュレルの定理から演繹される。
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