円環面

デジタル大辞泉

えんかん‐めん〔ヱンクワン‐〕【円環面】

読み方：えんかんめん

平面上に円周とそれに交わらない直線があるとき、この直線を軸にして円周を回転したときできる回転面。ドーナツ形になる円環体の表面。輪環面。トーラス。

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トーラス

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/03 05:09 UTC 版)

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トーラス

初等幾何学におけるトーラス（英: torus, 複数形: tori）、円環面、輪環面は、円周を回転して得られる回転面である。

いくつかの文脈では、二つの単位円周の直積集合 S¹ × S¹（に適当な構造を入れたもの）を「トーラス」と定義する。特に、位相幾何学における「トーラス」は、直積位相を備えた S¹ × S¹ に同相な図形の総称として用いられ、種数 1 の閉曲面（コンパクト二次元多様体）として特徴づけられる。このようなトーラスは三次元ユークリッド空間 R³ に位相的に埋め込めるが、各生成円をそれぞれ別の平面 R² に埋め込んで、それら埋め込みを保つような直積空間としての「トーラス」をユークリッド空間に埋め込むことは R³ では不可能で、R⁴ で考える必要がある。これはクリフォードトーラス（英語版） と呼ばれる、四次元空間内の曲面を成す。

アニュラスはトーラスではない

混同すべきでない関連の深い図形として、トーラスに囲まれた領域（三次元図形）すなわち「中身の詰まったトーラス」(solid torus) を、トーラス体、輪環体、円環体などと（対してもとのトーラスをトーラス面 (toroid) と）呼ぶこともある。また、中身の詰まったトーラスを単に「トーラス」(toroid) と呼ぶ場合があるので注意が必要である。また、同様に「円環」などと呼ばれる別の図形アニュラス（annulus、環帯）とも混同してはならない。

トーラス形

ドーナツの一種である、リングドーナツ

R = 大半径、r = 小半径

赤色の線がメリディアン、桃色の線がロンジチュード

詳細は「トーラス形」を参照

最もありふれたトーラスは、円（周）の外側に回転軸を置き得られる回転体、代表的なドーナツの形状の一つである「リングドーナツ」型で、いわゆる「ドーナツ型」である(ドーナツには球など様々な形があり、全てがトーラスの形状ではない。)。

トーラスの形と大きさを示すには大円の半径である大半径 R と、小円の半径である小半径 r (R > r) の2つの値が必要である（図）。小円とは回転体の断面の円、大円は小円の中心がなす円のことである。大円はトーラスの中心曲線（ちゅうしんきょくせん、core curve）ともいわれる。このトーラスは、xz 平面上の円 C

${\displaystyle C\colon (x-R)^{2}+z^{2}=r^{2}\quad (R>r>0)}$

正方形から円筒を、円筒からトーラスをつくる。

AとA、BとB（あるいはBとB、AとA）を繋げる。

繋げる順序が違うトーラス間の変形（アニメGIF）。4次元空間では穴あけ・伸縮なしでこの変形が可能である。

　

位相的トーラス

コーヒーカップとドーナツは同相である

位相幾何学的には、トーラスはどれだけ伸縮してもいい。有名な例は、ドーナツとコーヒーカップは同相である、というものである。つまり、コーヒーカップ（の表面）もトーラスである。

三葉結び目状のトーラス

また、結び目状になっているトーラスを考えることもできる。全ての結び目が円周に同相なように、結び目状になっているトーラスも標準的なトーラスと同相になる。ただし中心曲線の結び目が異なれば3次元空間上ではそれらは同位にならない。

性質

• トーラスの基本群は ⟨x, y : xyx⁻¹y⁻¹⟩ である。

多孔トーラス

トーラスは、2次元球面から2つの円板を除去し、その境界に円柱面 S¹×I の両端を貼り付けることによってつくることもできる。トーラスに対してさらにもう1つシリンダーをつけた曲面は二つ穴トーラス (double torus) と呼ぶことがある。これを繰り返してさらに多くの穴を持ったトーラスを考えることができ、穴の個数のことを種数という。また、シリンダーをつける操作は、新たなトーラスを連結和によって加えていることに相当する。

• 
  2つ穴トーラス
• 
  3つ穴トーラス

トーラス形多面体

詳細は「穿孔多面体」を参照

位相的にトーラス（あるいは多孔トーラス）である多面体はトーラス形多面体 (toroidal polyhedra) または穿孔多面体（穴のある多面体）と呼ばれる。

n次元トーラス

円周あるいは単純閉曲線 S¹ を 1 次元トーラスという。冒頭で述べた意味でのトーラスは S¹ × S¹ とあらわすことができる（片方の S¹ をメリディアン、もう片方の S¹ をロンジチュードと考えればよい）。一般に、n 次元トーラスあるいは簡単に n-トーラス Tⁿ とは S¹ の n 個の直積

${\displaystyle T^{n}=S^{1}\times S^{1}\times \cdots \times S^{1}}$

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