中身の詰まったトーラス

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中身の詰まったトーラス

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/13 18:00 UTC 版)

ソリッド・トーラス

初等幾何学における中身の詰まったトーラス（なかみのつまったトーラス、英: solid torus; ソリッドトーラス、トーラス体）は、一つの円周に沿って円板が掃く領域として定まる回転体である。位相的には、一つのハンドル体のみを持つ（すなわち種数 1 の）コンパクト図形である。

中身の詰まったトーラスを図示するには三次元空間に埋め込まれたトーラス形（トロイド）として描くのが標準的な方法であるが、図示の仕方によっては互いに区別すべきトーラスと同様の見た目になることがある。トーラスとはトーラス形の表面（境界面）を成す二次元の図形のことであり、トーラスに囲まれる有界領域はソリッドトーラスの一種となる。

回転体としてのトーラス

値 r < R を任意にとり固定して考えるとき、ソリッド・トーラスは半径 R の円周からの距離 a ≤ r なる点全体の成す集合である。したがってそれは、半径 r の円板を、その円と交わらずその円の属する平面上に載っている軸の周りに、回転半径 R がもとの円板の半径より大きくなるように、回転させて得られる。

媒介表示

トーラスの媒介変数表示を以下のように与えることができる:

${\vec {X}}(t,p)={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=R{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\0\end{pmatrix}}+a{\begin{pmatrix}\cos t\cos p\\\sin t\cos p\\\sin p\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(R+a\cos p)\cos t\\(R+a\cos p)\sin t\\a\sin p\end{pmatrix}}\quad (0\leq a\leq r,0\leq t,p\leq 2\pi ).$ この項目は、位相幾何学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。