トーラス形

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環状体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/12/23 06:56 UTC 版)

正方形から生成される環状体

トーラスは環状体の一種である

初等幾何学における環状面（かんじょうめん、英: toroid; トロイド）は、ドーナツのように真ん中に「穴」の開いた回転曲面であり、それが囲む立体は環状体（かんじょうたい、英: toroid; トロイド）と呼ばれる。回転の軸はこの「穴」を通過し、決してこの曲面と交わることが無い。例えば、矩形をその一辺に平行な軸の周りで回転させると、断面が四角い中空の環状図形が出来上がる。回転させる図形を円周とすれば、得られる図形はトーラスと呼ばれる。

より一般に、用語トロイド（あるいはその形容詞形トロイダル）は、穿孔多面体のような図形を言い表すのにも用いられ、そのような文脈においてトロイドは必ずしも環状でなく任意の数の「穴（孔）」を持ちうる。g-孔トロイドは、位相的種数 g（1 またはそれ以上の整数）を持つトーラス面（g-孔トーラス）を近似するものと見ることができる。g-孔トロイドのオイラー標数 χ は 2(1 − g) に等しい。

環状体は回転される断面の中心から測った回転半径 R によって特定され、対称的な断面を持つ環状体の体積 V および表面積 S は、断面積 A と断面の周長 C から

$V=2\pi RA$ この項目は、数学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。

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トーラス形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/27 23:44 UTC 版)

「トーラス」の記事における「トーラス形」の解説

詳細は「トーラス形」を参照 最もありふれたトーラスは、円（周）の外側に回転軸を置き得られる回転体、代表的なドーナツの形状の一つである「リングドーナツ」型で、いわゆる「ドーナツ型」である(ドーナツには球など様々な形があり、全てがトーラスの形状では無い。)。 トーラスの形と大きさを示すには大円の半径である大半径 R と、小円の半径である小半径 r (R > r) の2つの値が必要である（図）。小円とは回転体の断面の円、大円は小円の中心がなす円のことである。大円はトーラスの中心曲線（ちゅうしんきょくせん、core curve）ともいわれる。このトーラスは、xz 平面上の円 C C : ( x − R ) 2 + z 2 = r 2 ( R > r > 0 ) をz軸の周りで回転することによって得られ、その方程式は T : ( x 2 + y 2 − R ) 2 + z 2 = r 2 となる。 また、右図のように、媒介変数 t , p （0≦t≦2π , 0≦p≦2π）を使えば x = R cos ⁡ t + r cos ⁡ p cos ⁡ t y = R sin ⁡ t + r cos ⁡ p sin ⁡ t z = r sin ⁡ p と表示することもできる（t , p を消去すれば前述の方程式になる）。 ここで媒介変数 t を一定としたときのトーラス上の閉曲線をメリディアン（meridian）または経線（けいせん）といい、 p を一定にしたときのトーラス上の閉曲線をロンジチュード（longitude）または緯線（いせん）という。 このトーラスの表面積 S と体積 V は、 S = 4 π 2 r R = ( 2 π r ) ( 2 π R ) V = 2 π 2 r 2 R = ( π r 2 ) ( 2 π R ) である。それぞれ、小円の円周と面積に大円の円周を掛けた値になっている。このことはトーラスの表面積は底面が半径 r で高さが 2 π R の円柱の側面積に等しく、体積はこの円柱と同値であることを示している。