グラフィカルな表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/24 02:51 UTC 版)
「ネオ・リーマン理論」の記事における「グラフィカルな表現」の解説
ネオ・リーマン変換は、いくつかの相互関係のある幾何学的構造でモデル化できる。リーマンの Tonnetz（"tonal grid", 右側に示す）は、3つの協和音の間隔に対応する、3つの単体軸に沿ったピッチの平面配列である。長三和音と短三和音は、Tonnetz の平面をタイル状に結ぶ三角形で表される。辺で隣接する三和音は2つの共通のピッチを共有するため、主要な変換は Tonnetz の最小運動として表される。名前の由来となった理論家とは異なり、ネオ・リーマン理論では典型的に異名同音（G♯ = A♭）は等価であると仮定し、平面的なグラフをトーラス（円環面）で覆う。 その他の声調に関する幾何学は、古典的なTonnetzの特定の特徴を分離または拡張するネオ・リーマン理論で説明される。リチャード・コーンは、Hyper Hexatonic system を開発し、彼が「最大の滑らかさ」と述べる、別々の長3度のサイクル内およびサイクル間の動きについて述べた（Cohn、1996）。別の幾何学図形である Cube Dance は、Jack Douthettによって発明された。Tonnetzの幾何学的双対を特徴として、三和音は三角形ではなく頂点とし、増三和音を散在させることによりスムーズな声部連結を可能としている（Douthett and Steinbach、1998）。 ネオ・リーマン理論に関する幾何学的表現の多くは、クリフトン・カレンダー、イアン・クイン、およびドミトリ・ティモチュコによって研究された連続的な声部連結空間によって、より一般的な枠組みに統合されている。この取り組みでは、まず2004年にカレンダーが、3音からなる「コードタイプ」（「major」など）を表すことに焦点を当てた連続空間を表現した。それには1音を別の音にスライドさせる「連続的な変換」をモデリングする空間が使用される。後に、ティモチュコは、カレンダーの空間内のパスが特定のクラスの声部連結（2008年にティモチュコによって説明された、「個別のT関係」声部連結）と同型であることを示し、ネオ・リーマン理論のそれらにより密接に類似した空間の一群を開発した。ティモチュコの空間では、点はより一般的なコードタイプ（「major」など）ではなく、あらゆるサイズの特定のコード（「C major」など）を表す。最後に、カレンダー、クイン、およびティモチュコは、これらとさまざまな音楽理論的特性を表す他の多くの幾何学的空間を接続する統合フレームワークを共に提案した。 ハーモニックテーブルノートレイアウト（英語版）は、このグラフィカルな表現を現代的に実現して音楽インターフェイスを作成するものである。 2011年に、ジル・バロワンは、伝統的なTonnetzを4Dの超球面を埋め込むPlanet-4Dモデル（グラフ理論に基づく新しい視覚化システム）を提示した。Tonnetzのもう1つの最近の連続的なバージョンは（オリジナルとデュアルの両方の形式で）The Torii of Phasesであり、これにより、たとえば初期のロマンティック音楽で、さらに細かい分析が可能になる。
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