形式スキームの固有射
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/11 00:25 UTC 版)
f : X → S {\displaystyle f\colon {\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {S}}} を局所ネーター形式スキーム（英語版）（locally noetherian formal scheme）間の射とする。f が固有、または X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} は S {\displaystyle {\mathfrak {S}}} 上固有とは、(i) f が進射（英語版）[訳語疑問点]（adic morphism）（つまり、定義イデアル（the ideal of definition）を定義イデアルに写す）であって、(ii) 誘導される写像 f 0 : X 0 → S 0 {\displaystyle f_{0}\colon X_{0}\to S_{0}} が固有であることを言う。ここで、 X 0 = ( X , O X / I ) {\displaystyle X_{0}=({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}/I)} , S 0 = ( S , O S / K ) {\displaystyle S_{0}=({\mathfrak {S}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {S}}/K)} , I = f ∗ ( K ) O X {\displaystyle I=f^{*}(K){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}} で、K は S {\displaystyle {\mathfrak {S}}} の定義イデアルである。この定義は K の取り方によらない。 例えば、g: Y → Z を局所ネータースキームの固有射、Z0 を Z の閉部分集合、Y0 を Y の g(Y0) ⊂ Z0 となるような閉部分集合とすると、形式的完備化上の射 g ^ : Y / Y 0 → Z / Z 0 {\displaystyle {\widehat {g}}\colon Y_{/Y_{0}}\to Z_{/Z_{0}}} は形式スキームの固有射である。 グロタンディークはこの状況での連接定理（coherence theorem）を証明した。すなわち、 f : X → S {\displaystyle f\colon {\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {S}}} を局所ネーター形式スキームの固有射とし、F を X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} 上の連接層とすると、高次順像 R i f ∗ F {\displaystyle R^{i}f_{*}F} は連接層である。
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