過不足算

算数用語集・数学用語集

過不足算

ある数量の、余っているか不足しているかの状況から数量を求める問題を過不足算という。

例題

えん筆が何本かあります。これを何人かで分けるのに、1人に10本ずつ分けると30本余り、12本ずつ分けると18本不足します。
えん筆は全部で何本ありますか。

解法

上の図のように、たてを分けるえん筆の本数、横を人数とすると面積は必要なえん筆の本数となる。
（分けるえん筆の本数×人数＝必要なえん筆の本数）
この問題では、図の黄色の面積を求めればよい。

• （18＋30）÷（12－10）＝24（人）・・・人数
• 24×10＋30＝270（本）・・・（全部のえん筆の本数）

参考

• 算数の文章問題

ウィキペディア

過不足算

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/15 06:14 UTC 版)

過不足算（かふそくざん）は、算数の文章題の一種。量を揃えていくという考え方は、より複雑な差集め算に応用させることができる。

概要

ある個数のものを何人かに分けたときの過不足の情報が2つ与えられる。そこから、人数と全体の個数を求める問題。似たような問題に差集め算がある。いずれも、

全体の差÷1つあたりの差=個数

という式が成り立つ。

古くは「盈（えい）不足算」ともいわれていた。

歴史

• 中国の数学書『九章算術』に同様な問題がある。
• 日本では、『塵劫記』に布盗人算（きぬぬすびとざん）として登場する。

例題（余る場合と不足する場合が存在する場合）

泥棒たちが盗んだ布を山分けする。布を8反ずつ分けると4反あまり、10反ずつ分けると8反足りない。泥棒は何人いるか、また布は何反盗んだか。

解法

• 過不足算の解法はいろいろなものが知られていて（ただ本質的な差はほとんどなく、どちらかといえば表現の問題だが）、 人によってかなり好みも分かれるようである。
• 一つの解法として以下のものがあげられる。
  • 盗んだ布を8反多いことにしてみる。すると8反ずつ分ける方法では、12反あまり、10反ずつ分ける方法ではちょうど割り切れることになる。
  • これより、2反×人数=12反であることがわかる。
  • したがって、泥棒は6人、また、盗んだ布は8×6+4=10×6-8=52反だったことがわかる。

別解1

全体の差÷1人分の差＝人数

(8＋4)÷(10－8)＝6(人)

8×6＋4＝52 (反)

または

10×6－8＝52 (反)

答えは6人、52反である。

別解2

泥棒の人数をx人とすると、x人に8反ずつ分けたが、4反余ったといえる。もう一方は(x-1)人に10反ずつ分けたが、1人だけ2反になってしまったといえる。よって布の数を表す式は、8x+4=10(x-1)+2・1になる。これを解くとx=6、すなわち泥棒は6人となる。布の数は8・6+4=52反となる。

例題（どちらとも余る場合）

泥棒たちが盗んだ布を山分けする。布を8反ずつ分けると12反あまり、10反ずつ分けると2反あまる。泥棒は何人いるか、また布は何反盗んだか。

解法

全体の差÷1人分の差＝人数

(12-2)÷(10－8)＝5(人)

8×5＋12＝52 (反)

または

10×5+2＝52 (反)

答えは5人、52反となる。

別解

泥棒の人数をx人とすると、x人に8反ずつ分けたが、12反余ったといえる。もう一方はx人に10反ずつ分けたが、2反余ったといえる。よって布の数を表す式は、8x+12=10x+2になる。これを解くとx=5、すなわち泥棒は5人となる。布の数は8・5+12=52反となる。

例題（どちらとも不足する場合）

泥棒たちが盗んだ布を山分けする。布を8反ずつ分けるには2反不足し、10反ずつ分けるには12反不足する。泥棒は何人いるか、また布は何反盗んだか。

解法

全体の差÷1人分の差＝人数

(12－2)÷(10－8)＝5(人)

8×5-2＝38 (反)

10×5-12＝38 (反)

答えは5人、38反となる。

別解

泥棒の人数をx人とすると、この文章は、「1人だけ6反しかもらえない」「(x-2)人には10反ずつ分けられるが、1人は8反、1人は1反も分けられない」と解釈できる。よって次の式が成り立つ。8(x-1)+6・1=10(x-2)+8・1+0・1の解は、x=5となる。故に8(5-1)+6・1=38反となる。

関連項目

• 算数 - 特殊算 - 差集め算

Weblio日本語例文用例辞書

「過不足算」の例文・使い方・用例・文例

• 過不足算という,算数の応用問題