環上の射影直線
数学における環上の射影直線（しゃえいちょくせん、英: projective line over a ring）は体上の射影直線を一般化するものである。
定式化
単位元 1 を持つ単位的環 A が与えられたとき、A 上の射影直線 P(A) は斉次座標系によって特定される点からなる。A の単元群を U とし、A × A において関係 ∼ を
- (a,b) ∼ (c,d) ⇔ ua = c ∧ ub = d (∃u ∈ U)
と定めると、∼ は同値関係である。この同値類を典型的には U(a, b) と書く。このとき、P(A) は
- P(A) = {U(a,b) | a と b は互いに素}
と定義される。ここに、a, b が「互いに素」とは a, b の生成するイデアルが A 全体になる (aA + bA = A) ことを言う。
射影直線 P(A) は、射影変換群 (homography group) を作用域に持つ。この各射影変換は A 上の行列環とその単元群 GL2(A) によって表される。すなわち、A の単元群 U の中心 Z(U) に属するスカラーに対応するスカラー行列の全体を Z2(U) とすれば、Z2(U) の P(A) への作用は自明であり、Z2(U) は GL2(A) の正規部分群で、P(A) 上の射影変換群は剰余群 PGL2(A) = GL2(A)/Z2(U) に同型である。
埋め込み a ↦ U(a, 1) によって P(A) は A のコピーを含むから、射影直線 P(A) を環 A の拡張と看做すことができる。反転写像 u ↦ 1/u（通常は A の単元群 U に制限される）は P(A) 上の射影変換
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