ラピディティ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/08/20 19:30 UTC 版)
相対性理論において、ラピディティ (英: Rapidity) とは運動の大きさを表現する無次元量である。相対論的な速度とは異なり、ラピディティには並進速度については（言い換えれば、一次元空間においては）単純な加法性が備わる。低速域ではラピディティと速さは近似的に比例関係にあるが、高速域ではラピディティの方が大きくなっていく。光速に対応するラピディティは無限大である。
逆双曲正接関数 artanh を用いて、ラピディティ φ は速さ v から φ = arctanh v/c のように算出される。したがって、低速域では φ は近似的に v / c と等しい。
光速 c は有限であり、速さ v は必ず不等式 −c < v < c を満たすため、v / c は不等式 −1 < v / c < 1 を満たす。逆双曲正接関数の定義域は区間 (−1, 1) であり、値域は実数全体であるため、速さの区間 −c < v < c はラピディティの区間 −∞ < φ < ∞ に対応する。
数学的には、ラピディティは相対的に運動する二つの基準系の空間軸および時間軸の間の双曲角により定義される。
歴史
1908年、ヘルマン・ミンコフスキーは、ローレンツ変換が時空座標の単純な双曲回転、すなわち虚角による回転として見られる事を説明した。[1] したがって、この角度は（1つの空間次元で）フレーム間の速度の単純な加算的尺度を表す。[2] 速度に代わる急速性パラメータは、1910年にウラジミール・ヴァリチャク[3]と エドマンド・テイラー・ウィテカー[4] によって導入された。このパラメータはアルフレッド・ロブ（1911年）[5] によって急速性と名付けられ、この用語はルートヴィヒ・シルバーシュタイン（1914年）、フランク・モーリー（1936年）、ヴォルフガング・リンドラー（2001年）など、その後の多くの著者に採用された。
双曲扇形の面積
グレゴワール・ド・サン・ヴァンサンによる「xy = 1」双曲線の求積法によって、自然対数は双曲扇形の面積、または漸近線に対する同等の面積として確立された。時空理論では、光による出来事のつながりによって、宇宙は「今ここ」に基づいて「過去」、「未来」、または「他の場所」に分割される。空間内のどの線上でも、光線は左または右に向けられる。x 軸を右の光線が通過するイベント、y 軸を左の光線が通過するイベントとする。したがって、静止している参照フレームには、「xy = 1」対角線に沿った時間が存在する。「xy = 1」直角双曲線は速度を測定するために使用出来る (第 1 象限)。0 速度は (1, 1) に対応する。双曲線上の任意の点は 
ラピディティ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/30 09:29 UTC 版)
ラピディティの定義、すなわち以下で定義される双曲角（英語版） φ tanh φ = β {\displaystyle \tanh \varphi =\beta \,\!} を用いて γ は（双曲線関数についての恒等式を用いて）以下のように表わされる。 γ = cosh φ = 1 1 − tanh 2 φ = 1 1 − β 2 {\displaystyle \gamma =\cosh \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\varphi }}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\,\!} ローレンツ変換の性質を用いて、ラピディティの加法性を示すことができる。これは速度にはない有用な性質である。従って、ラピディティは物理モデルの基礎となる1-パラメータ群（英語版）を成す。
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