リー代数と代数群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 09:54 UTC 版)
代数群 G のリー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} はいくつかの等価な方法で定義される：単位元 1 ∈ G(k) における接空間 T1(G) として、あるいは左不変導分（英語版）のなす空間として。k が代数的閉体のとき、G の座標環の k 上の導分 D : O ( G ) → O ( G ) {\displaystyle D\colon {\mathcal {O}}(G)\to {\mathcal {O}}(G)} が左不変 left-invariant であるとは D λ x = λ x D {\displaystyle D\lambda _{x}=\lambda _{x}D} がすべての x ∈ G(k) に対して成り立つことをいう。ここで λ x : O ( G ) → O ( G ) {\displaystyle \lambda _{x}\colon {\mathcal {O}}(G)\to {\mathcal {O}}(G)} は x の左からの乗法により誘導される。任意の体 k に関して、導分の左不変性も類似の線形写像 O ( G ) → O ( G ) ⊗ O ( G ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(G)\to {\mathcal {O}}(G)\otimes {\mathcal {O}}(G)} の等式によって定義される。導分の括弧積は [D1, D2] = D1D2 − D2D1 によって定義される。 よって G から g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} への移行は a process of differentiation である。元 x ∈ G(k) に対して、共役写像 G → G, g ↦ xgx−1 の 1 ∈ G(k) での導分は g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の自己同型であり、随伴表現 Ad : G → Aut ( g ) {\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})} を与える。 標数ゼロの体上において、線型代数群 G の連結部分群 H はリー代数 h ⊂ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}} により一意的に定まる。しかし g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} のリー部分代数すべてが G の代数部分群と対応するわけではない。（C 上のトーラス G = (Gm)2 がそのような例である。）正標数の場合には、同じリー代数を定める G の連結部分群はいくつも存在し得る。（重ねてトーラス G = (Gm)2 がそのような例である。）このような理由で、代数群のリー代数は重要ではあるものの、代数群の構造論にはより大域的な道具立てが必要とされる。
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