導分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/04 03:05 UTC 版)
多重交換子などを扱う場合などは特に、随伴表現を使った別の記法 ad ( x ) ( y ) = [ x , y ] {\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]} を用いたほうが有効なこともある。このとき、ad(x) は環の導分（微分作用素）で、"ad" は線型である。つまり、 ad ( x + y ) = ad ( x ) + ad ( y ) , {\displaystyle \operatorname {ad} (x+y)=\operatorname {ad} (x)+\operatorname {ad} (y),} ad ( λ x ) = λ ad ( x ) {\displaystyle \operatorname {ad} (\lambda x)=\lambda \operatorname {ad} (x)} がともに成り立つ。また "ad" はリー環準同型、つまり ad ( [ x , y ] ) = [ ad ( x ) , ad ( y ) ] {\displaystyle \operatorname {ad} ([x,y])=[\operatorname {ad} (x),\operatorname {ad} (y)]} を満たすものである。しかし、一般には ad ( x y ) = ad ( x ) ad ( y ) {\displaystyle \operatorname {ad} (xy)=\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (y)} が必ずしも成り立たず、多元環の準同型とは必ずしもならない。 例 ad ( x ) ad ( x ) ( y ) = [ x , [ x , y ] ] , {\displaystyle \operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (x)(y)=[x,[x,y]],} ad ( x ) ad ( a + b ) ( y ) = [ x , [ a + b , y ] ] . {\displaystyle \operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (a+b)(y)=[x,[a+b,y]].}
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