平面力学に対する極慣性モーメント
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/04 15:03 UTC 版)
「平行軸の定理」の記事における「平面力学に対する極慣性モーメント」の解説
平面と平行に動く剛体の質量特性は、平面上にある剛体の質量中心 R = (x, y) と、R を通りこの平面に垂直な軸周りの極慣性モーメント IR によって定義される。平行軸の定理は任意の点 S の周りの慣性モーメント IS と質量中心 R を中心とする慣性モーメント IR の間に便利な関係を与える。 質量中心 R には ∫ V ρ ( r ) ( r − R ) d V = 0 {\displaystyle \int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\,dV=0} という性質がある。ここで r は物体の体積 V にわたって積分される。平面運動をしている物体の極慣性モーメントは、任意の基準点 S に対して計算することができる。 I S = ∫ V ρ ( r ) ( r − S ) ⋅ ( r − S ) d V . {\displaystyle I_{S}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {S} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {S} )\,dV.} 慣性モーメント IR を用いて慣性モーメント IS を求めるために、S から質量中心 R へのベクトル d = R−S を導入すると、 I S = ∫ V ρ ( r ) ( r − R + d ) ⋅ ( r − R + d ) d V = ∫ V ρ ( r ) ( r − R ) ⋅ ( r − R ) d V + 2 d ⋅ ( ∫ V ρ ( r ) ( r − R ) d V ) + ( ∫ V ρ ( r ) d V ) d ⋅ d {\displaystyle {\begin{aligned}I_{S}&=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} +\mathbf {d} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} +\mathbf {d} )\,dV\\&=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} )dV+2\mathbf {d} \cdot \left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\,dV\right)+\left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\,dV\right)\mathbf {d} \cdot \mathbf {d} \end{aligned}}} となる。最初の項は IR、2番目の項は質量中心の定義により0、最後の項は物体に総質量 M にベクトル d の大きさの2乗をかけたものである。したがって I S = I R + M d 2 {\displaystyle I_{S}=I_{R}+Md^{2}} となる。これは平行軸の定理として知られているものである。
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