デデキントの切断とは? わかりやすく解説

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デデキント切断

(デデキントの切断 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/08/25 16:17 UTC 版)

デデキント切断(デデキントせつだん、: Dedekind cut)、あるいは単に切断 (: Schnitt) とは、リヒャルト・デデキントが考案した数学的な手続きで、実数論の基礎付けに用いられる。

定義

全順序集合 K を、一方が他方の全ての元よりも小であるような二つの組に分けたとする。

K = AB, A ≠ ∅, B ≠ ∅; aA, bBa < b.

このような組 (A, B)デデキント切断という。

概論

以下では全順序集合Kとして有理数をとり、「切断が一つの数を確定する」ことを公理に採用して有理数の"隙間"を埋める形で、実数を構成する。仮に上記のA,Bをそれぞれ下組、上組としておく。

有理数の切断を与えることで、切断に対応する実数をただ一つ定めることができる。

一般に全順序集合の切断には、四つの場合が考えられる。

  1. 下組の最大元と上組の最小元がある。
  2. 下組には最大元があるが、上組に最小元がない。
  3. 上組には最小元があるが、下組に最大元がない。
  4. 下組の最大元、上組の最小元ともにない。

有理数の場合、稠密性から任意の二つの有理数の間に無数の有理数が存在するため、切断1は不可能である。切断2および切断3の場合は、それぞれ下組の最大元、上組の最小元にあたる有理数に対応し、切断4の場合は、無理数に対応する。

上記の方法による実数の定義は、実数の連続性と同値である。 実際、上記の方法で構成された実数に対して切断を行った場合、切断4は不可能となり、切断2もしくは切断3のいずれかになるため、対応する境界の元がただ一つ定まる。これをデデキントの定理と言う。

参考文献

関連項目

外部リンク


デデキントの切断 (第29話 『デデキントの切断』)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/18 15:17 UTC 版)

Q.E.D. 証明終了」の記事における「デデキントの切断 (第29話 『デデキントの切断』)」の解説

有理数体完備化して実数体を構成する方法一つ切断とは簡単に言うと、“ある数”より小さ有理数集合のこと。この“ある数”が有理数範囲に収まらず実数となるので、これを実数の定義とする。

※この「デデキントの切断 (第29話 『デデキントの切断』)」の解説は、「Q.E.D. 証明終了」の解説の一部です。
「デデキントの切断 (第29話 『デデキントの切断』)」を含む「Q.E.D. 証明終了」の記事については、「Q.E.D. 証明終了」の概要を参照ください。

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