リーマン計量と随伴形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/20 05:50 UTC 版)
「エルミート多様体」の記事における「リーマン計量と随伴形式」の解説
（概）複素多様体 M {\displaystyle M} 上のエルミート計量 h {\displaystyle h} は、基礎多様体上にリーマン計量 g {\displaystyle g} を定義する。計量 g {\displaystyle g} は h {\displaystyle h} の実部 g = 1 2 ( h + h ¯ ) {\displaystyle g={1 \over 2}(h+{\bar {h}})} で定義される。 形式 g {\displaystyle g} は複素化された（英語版）(complexified)接バンドル T M C {\displaystyle TM^{\mathbf {C} }} 上の対称双線型形式である。 g {\displaystyle g} は自身の共役と等しいので、 T M {\displaystyle TM} 上の実形式の複素化となる。 T M {\displaystyle TM} 上での g {\displaystyle g} の対称性と正定値性は、対応する h {\displaystyle h} の性質から従う。局所正則座標では、計量 g {\displaystyle g} は g = 1 2 h α β ¯ ( d z α ⊗ d z ¯ β + d z ¯ β ⊗ d z α ) {\displaystyle g={1 \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,(dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }+d{\bar {z}}^{\beta }\otimes dz^{\alpha })} と表わすことができる。 h {\displaystyle h} には次数 (1,1) の複素微分形式 ω {\displaystyle \omega } を付随させることもできる。形式 ω {\displaystyle \omega } は h {\displaystyle h} の虚部のマイナス1倍 ω = i 2 ( h − h ¯ ) {\displaystyle \omega ={i \over 2}(h-{\bar {h}})} として定義される。再び、 ω {\displaystyle \omega } はその共役と等しいので、これは T M {\displaystyle TM} 上の実形式の複素化である。形式 ω {\displaystyle \omega } は、随伴 (1,1)-形式(associated (1,1) form)、基本形式(fundamental form)、あるいはエルミート形式(Hermitian form)と様々な呼ばれ方をする。局所正則座標では、 ω {\displaystyle \omega } は ω = i 2 h α β ¯ d z α ∧ d z ¯ β {\displaystyle \omega ={i \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\wedge d{\bar {z}}^{\beta }} と表わされる。 座標表現から明らかなように、3つの形式 h {\displaystyle h} 、 g {\displaystyle g} 、 ω {\displaystyle \omega } のうち1つが与えられれば、他の2つも一意に定まる。リーマン計量 g {\displaystyle g} と付随する形式 ω {\displaystyle \omega } とは概複素構造 J {\displaystyle J} により次のように関係している: すべての複素接ベクトル u {\displaystyle u} と v {\displaystyle v} に対し、 ω ( u , v ) = g ( J u , v ) , g ( u , v ) = ω ( u , J v ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\omega (u,v)&=g(Ju,v),\\g(u,v)&=\omega (u,Jv).\end{aligned}}} エルミート計量 h {\displaystyle h} は g {\displaystyle g} と ω {\displaystyle \omega } から等式 h = g − i ω {\displaystyle h=g-i\omega } によって復元できる。3つの形式 h {\displaystyle h} 、 g {\displaystyle g} 、 ω {\displaystyle \omega } は概複素構造 J {\displaystyle J} を保つ。すなわち、すべての複素接ベクトル u {\displaystyle u} と v {\displaystyle v} に対し、 h ( J u , J v ) = h ( u , v ) g ( J u , J v ) = g ( u , v ) ω ( J u , J v ) = ω ( u , v ) {\displaystyle {\begin{aligned}h(Ju,Jv)&=h(u,v)\\g(Ju,Jv)&=g(u,v)\\\omega (Ju,Jv)&=\omega (u,v)\end{aligned}}} である。 従って、（概）複素多様体 M {\displaystyle M} 上のエルミート構造は、 上記のエルミート計量 h {\displaystyle h} 概複素構造 J {\displaystyle J} を保つリーマン計量 g {\displaystyle g} J {\displaystyle J} を保つ非退化 2-形式 ω {\displaystyle \omega } ですべての 0 でない実接ベクトル u {\displaystyle u} に対し ω ( u , J u ) > 0 {\displaystyle \omega (u,Ju)>0} の意味で正定値 のいずれかで特定することができる。 多くの著者が g {\displaystyle g} 自身をエルミート計量と呼んでいることに注意する。
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