リーマン面での定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/10/13 14:54 UTC 版)
「交点数 (代数幾何学)」の記事における「リーマン面での定義」の解説
X をリーマン面とすると、X 上の 2つの閉じた曲線の交点数は、積分の項として単純に定義することができる。全ての X 上の閉じた曲線 c 、つまり、滑らかな函数 c : S 1 → X {\displaystyle c:S^{1}\to X} を、微分形式 η c {\displaystyle \eta _{c}} へ、次の式のように X 上の積分で計算可能な c にそった積分として関連付けることができるという適切な性質を持っている。 X 上の任意の閉じた 1-形式 α {\displaystyle \alpha } に対して、 ∫ c α = − ∫ ∫ X α ∧ η c = ( α , ∗ η c ) , {\displaystyle \int _{c}\alpha =-\int \int _{X}\alpha \wedge \eta _{c}=(\alpha ,*\eta _{c}),} ここに、 ∧ {\displaystyle \wedge } は微分形式のウェッジ積で、 ∗ {\displaystyle *} はホッジスターとする。すると、X 上の 2つの閉じた曲線 a と b の交点数は、 a ⋅ b := ∫ ∫ X η a ∧ η b = ( η a , − ∗ η b ) = − ∫ b η a {\displaystyle a\cdot b:=\int \int _{X}\eta _{a}\wedge \eta _{b}=(\eta _{a},-*\eta _{b})=-\int _{b}\eta _{a}} . として定義することができる。 η c {\displaystyle \eta _{c}} は次のような定義の直感的な解釈を持つ。この交点数の定義は、c に沿ったディラックのデルタ函数の一種であり、c に沿って 1 から 0 に値を落とす単位ステップ函数の微分することで完了する。さらに形式的には、X 上の閉じた曲線 c に対し函数 fc をアニュラスの形の中に c の周りの小さな帯状領域(strip)を Ω {\displaystyle \Omega } ととることから始める。 Ω ∖ c {\displaystyle \Omega \setminus c} の左の部分と右の部分をそれぞれ、 Ω + {\displaystyle \Omega ^{+}} 及び Ω − {\displaystyle \Omega ^{-}} と名付ける。c の周りのさらに小さい帯状の部分領域 Ω 0 {\displaystyle \Omega _{0}} をとって、左、右の部分をそれぞれ、 Ω 0 − {\displaystyle \Omega _{0}^{-}} 及び Ω 0 + {\displaystyle \Omega _{0}^{+}} として、fc を次により定義する。 f c ( x ) = { 1 , x ∈ Ω 0 − 0 , x ∈ X ∖ Ω − smooth interpolation , x ∈ Ω − ∖ Ω 0 − {\displaystyle f_{c}(x)={\begin{cases}1,&x\in \Omega _{0}^{-}\\0,&x\in X\setminus \Omega ^{-}\\{\mbox{smooth interpolation}},&x\in \Omega ^{-}\setminus \Omega _{0}^{-}\end{cases}}} . すると、この定義は任意の閉曲線に対して拡張できる。X 上の全ての閉曲線 c は、いくつかの単純閉曲線 ci が存在し、 ∑ i = 1 N k i c i {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}k_{i}c_{i}} とホモロジー同値となる。すなわち、 全ての微分形式 ω {\displaystyle \omega } に対し、 ∫ c ω = ∫ ∑ i k i c i ω = ∑ i = 1 N k i ∫ c i ω {\displaystyle \int _{c}\omega =\int _{\sum _{i}k_{i}c_{i}}\omega =\sum _{i=1}^{N}k_{i}\int _{c_{i}}\omega } である。従って、 η c {\displaystyle \eta _{c}} を次により定義する。 η c = ∑ i = 1 N k i η c i {\displaystyle \eta _{c}=\sum _{i=1}^{N}k_{i}\eta _{c_{i}}} .
※この「リーマン面での定義」の解説は、「交点数 (代数幾何学)」の解説の一部です。
「リーマン面での定義」を含む「交点数 (代数幾何学)」の記事については、「交点数 (代数幾何学)」の概要を参照ください。
- リーマン面での定義のページへのリンク
