リーマン面上の計量についての概観
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/05 07:54 UTC 版)
「ポワンカレ計量」の記事における「リーマン面上の計量についての概観」の解説
複素数平面上の計量を一般に、λ を z および z を変数とする正実数値函数として d s 2 = λ 2 ( z , z ¯ ) d z d z ¯ {\displaystyle ds^{2}=\lambda ^{2}(z,{\bar {z}})\,dz\,d{\bar {z}}} なる形に表すことができ、複素数平面上の曲線 γ の長さ l(γ) は l ( γ ) = ∫ γ λ ( z , z ¯ ) | d z | {\displaystyle l(\gamma )=\int _{\gamma }\lambda (z,{\bar {z}})\,|dz|} で与えられる。また、複素数平面の部分集合 M の面積 area(M) は area ( M ) = ∫ M λ 2 ( z , z ¯ ) i 2 d z ∧ d z ¯ {\displaystyle {\text{area}}(M)=\int _{M}\lambda ^{2}(z,{\bar {z}})\,{\frac {i}{2}}\,dz\wedge d{\bar {z}}} と書ける。ただし、 ∧ {\displaystyle \wedge } は体積形式を構成するのに用いる外積である。この計量の行列式の値は λ4 に等しく、従って行列式の平方根は λ2 である。平面上のユークリッド体積形式 dx∧dy に対して、 d z ∧ d z ¯ = ( d x + i d y ) ∧ ( d x − i d y ) = − 2 i d x ∧ d y {\displaystyle dz\wedge d{\bar {z}}=(dx+i\,dy)\wedge (dx-i\,dy)=-2i\,dx\wedge dy} なる関係が成り立つ。函数 Φ(z, z) が計量ポテンシャル (potential of the metric) であるとは 4 ∂ ∂ z ∂ ∂ z ¯ Φ ( z , z ¯ ) = λ 2 ( z , z ¯ ) {\displaystyle 4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\Phi (z,{\bar {z}})=\lambda ^{2}(z,{\bar {z}})} を満たすことを言う。ラプラス-ベルトラミ作用素 Δ は Δ = 4 λ 2 ∂ ∂ z ∂ ∂ z ¯ = 1 λ 2 ( ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 ) {\displaystyle \Delta ={\frac {4}{\lambda ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)} で与えられ、計量のガウス曲率 K は K = − Δ log λ {\displaystyle K=-\Delta \log \lambda } で与えられる。この曲率はリッチのスカラー曲率テンソルの半分である。 等距写像 (isometry) は角度と弧長を保ち、リーマン面上では等距写像は座標変換と同一視される。つまり、ラプラス-ベルトラミ作用素も主曲率も等距写像に関する不変量なのである。従って例えば、S が計量 λ2(z, z) dz dz を、T が計量 μ2(w, w) dw dw をそれぞれ持つリーマン面とすれば、写像 f : S → T ; z ↦ w ( z ) {\displaystyle f\colon S\to T;\;z\mapsto w(z)} が等距変換となるための必要十分条件は f が共形写像となることであり、それには μ 2 ( w , w ¯ ) ∂ w ∂ z ∂ w ¯ ∂ z ¯ = λ 2 ( z , z ¯ ) {\displaystyle \mu ^{2}(w,{\bar {w}})\;{\frac {\partial w}{\partial z}}\,{\frac {\partial {\bar {w}}}{\partial {\bar {z}}}}=\lambda ^{2}(z,{\bar {z}})} が成り立てば十分である。ここに、写像が共形であることを要求することは w ( z , z ¯ ) = w ( z ) {\displaystyle w(z,{\bar {z}})=w(z)} が成り立つこと、即ち、 ∂ ∂ z ¯ w ( z ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}w(z)=0} が満たされることを言うに他ならない。
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