測地線と捩れの吸収
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/27 02:53 UTC 版)
γ(t) を M 上の曲線とすると、γ は、γ の領域の中の時間 t に対し、 ∇ γ ˙ ( t ) γ ˙ ( t ) = 0 {\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0} で与えられるアフィンパラメータを持つ測地線である。（ここにドットは、t についての微分を表わし、測地線にそった方向を持つ接ベクトルと γ と関連つけている。）各々の測地線は、一意に、時刻 t = 0 での初期接ベクトル γ ˙ ( 0 ) {\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)} により決まる。 接続の捩れの応用のひとつは、接続の測地的スプレー（英語版）(geodesic spray) である。大まかには、アフィンパラメータされた測地線である。捩れは、測地スプレーの項では接続を分類する曖昧さを意味する。 2つの接続 ∇ と ∇′ が同一のアフィンパラメータを持つ（つまり、同一の測地スプレーを持つとする）と、その差異は捩れである 。さらに詳しくは、X と Y を p ∈ M での 2つの接ベクトルとし、 Δ ( X , Y ) = ∇ X Y ~ − ∇ X ′ Y ~ {\displaystyle \Delta (X,Y)=\nabla _{X}{\tilde {Y}}-\nabla '_{X}{\tilde {Y}}} を p を離れて任意の X と Y の拡大から計算された 2つの接続の間の差異とする。ライプニッツの積公式により、Δ はどのように X と Y が拡大されたか（従って、M 上のテンソルを定義するか）には実際依存しないことが分かる。S と A を Δ の対称的部分と交代的部分 S ( X , Y ) = 1 2 ( Δ ( X , Y ) + Δ ( Y , X ) ) {\displaystyle S(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)+\Delta (Y,X)\right)} A ( X , Y ) = 1 2 ( Δ ( X , Y ) − Δ ( Y , X ) ) {\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)-\Delta (Y,X)\right)} とすると、 A ( X , Y ) = 1 2 ( T ( X , Y ) − T ′ ( X , Y ) ) {\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)} は捩れテンソルの差異である。 ∇ と ∇′ が同一のアフィンパラメータを持つ測地線であることと、S(X, Y) = 0 であることは同値である。 言い換えると、2つの接続の差異の対称的部分は、接続が同一のパラメータを持つかどうかを決定し、一方、差異の交代的部分は、2つの接続の相対的な捩れの違いが決定する。もうひとつの別な結論は、 任意のアフィン接続 ∇ が与えられると、同一のアフィンパラメータを持つ測地線の族の中に、一意に捩れのない接続 ∇′ が存在する。これはリーマン幾何学の基本定理のアフィン接続（計量がなくともよい）への一般化である。パラメータ化された族の下にある一意な捩れのない接続をとることは、捩れの吸収として知られていて、カルタンの同値の方法（英語版）(Cartan's equivalence method)の一段階である。
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