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測地線

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/08 07:58 UTC 版)

微分幾何学において測地線（そくちせん、英: geodesic）とは、曲面（より一般的にはリーマン多様体）上の曲線であって、その上の十分近い2つの離れた点が最短線で結ばれた曲線を言う。ユークリッド空間における直線の概念を、曲がった空間において一般化したものである。「測地線」という用語は、地球の大きさと形状を測定する学問である測地学に由来する。本来の意味では、測地線は地表の2点間の最短ルートであり、球体形状の地球の場合、大円の一部となる。測地線の中でその長さが最小のものは最短測地線という。

脚注

注釈

^ 測地線や極小曲面の概念をM次元の幾何学的対象に一般化するにはリーマン多様体で考える必要があろう（測地線は1次元リーマン多様体であり、極小曲面は2次元リーマン多様体である）。その際これら測地線の（両）端点や極小曲面の縁の曲線（あるいは端点）は、それら対象となっている多様体から変形運動するそれら多様体が置かれるN次元の空間である多様体（たとえば球面上の測地線で考えるならばその次元は2である）との写像に関する、変分問題の境界条件として捉え直される（西川 2006, pp. 89–124、p. 105 図3.1。'多様体間の調和写像'の項をも見よ。）。
^ しかしながら、一般に、大円をその上の2点で分けると優弧と劣弧に分かれる。東京からニューヨークへ大円に沿った移動をしても、東京からニューヨークに行くには大円の周り方によって遠い移動と近い移動とある。この場合、劣弧に沿って移動すれば最短距離、優弧に沿えば直線的な移動としては最も遠回りになるわけである。大円の一部である弧は測地線となるが、必ずしも2点間の最短距離を示す曲線とはならない。